无穷级数重要知识点
- 部分和
s = ∑ i = 1 n u i s = \sum_{i=1}^{n} u _{i} s=i=1∑nui
注意:部分和不是数列的一部分之和,而是一个极限的概念,此处的n是一个极限值, n 趋于正无穷! \color{red}n趋于正无穷! n趋于正无穷!一定要注意。
- 调和级数
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + . . . + 1 n − 2 + 1 n − 1 + 1 n (1.1) 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +... + \frac{1}{n-2} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \tag{1.1} 1+21+31+41+51+...+n−21+n−11+n1(1.1)
调和级数可以化为如下积分式:
∫ 1 + ∞ 1 x d x = ln x ∣ 1 + ∞ = ∞ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}dx = \ln x |_{1}^{+\infty} = \infty ∫1+∞x1dx=lnx∣1+∞=∞
可见调和级数发散。
调和级数是一个重要级数,是判断其他级数收敛的参考。若一个级数大于调和级数,则必定发散,若一个级数是调和级数的无穷小,则一定收敛。
- 级数收敛的必要非充分条件
若级数 ∑ i = 1 + ∞ u i \sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} ∑i=1+∞ui收敛,则一般项 u i u_{i} ui的极限为0。
此条件是级数收敛的必要条件而非充分条件。比如调和级数的一般项为0但是并不收敛。
- 达朗贝尔判别法
正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim i → + ∞ u i + 1 u i > 1 则级数发散 若 lim i → + ∞ u i + 1 u i < 1 则级数收敛 若 lim i → + ∞ u i + 1 u i = 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} > 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} < 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =1则无法判别敛散性 正向级数i=1∑+∞ui若i→+∞limuiui+1>1则级数发散若i→+∞limuiui+1<1则级数收敛若i→+∞limuiui+1=1则无法判别敛散性
证明:
(1)若 lim i → + ∞ u i + 1 u i = ρ > 1 , 即 u i + 1 > u i , 即 u i + 1 = k u i , k > 1 \lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =\rho >1, 即u_{i+1} >u_{i}, 即u_{i+1} = ku_{i},k> 1 limi→+∞uiui+1=ρ>1,即ui+1>ui,即ui+1=kui,k>1
(2)若 lim i → + ∞ u i + 1 u i = ρ < 1 , 即 u i + 1 < u i , 即 u i + 1 = k u i , k < 1 \lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =\rho <1, 即u_{i+1} <u_{i}, 即u_{i+1} = ku_{i},k < 1 limi→+∞uiui+1=ρ<1,即ui+1<ui,即ui+1=kui,k<1
通过考察等比数列(几何级数)的求和公式: a 1 1 − q n 1 − q a_{1}\frac{1-q^{n}}{1- q} a11−q1−qn
当公比q大于1时,几何级数发散,当q小于1时几何级数收敛于 a 1 1 1 − q a_{1} \frac{1}{1-q} a11−q1。
故达朗贝尔判别法得证。
- 柯西判别法
正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim i → + ∞ n n > 1 则级数发散 若 lim i → + ∞ n n < 1 则级数收敛 若 lim i → + ∞ n n = 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} \sqrt [n] n> 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty}\sqrt [n] n < 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to +\infty} \sqrt [n] n =1则无法判别敛散性 正向级数i=1∑+∞ui若i→+∞limnn>1则级数发散若i→+∞limnn<1则级数收敛若i→+∞limnn=1则无法判别敛散性
证明方式也参考达朗贝尔判别法。
5. 极限审敛法
正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim i → + ∞ n u i = l > 0 则级数发散 若 lim i → + ∞ n p u i = l > = 0 ( p > 1 ) 则级数收敛 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} n u_{i} = l > 0则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty} n^p u_{i} = l >= 0(p > 1)则级数收敛 正向级数i=1∑+∞ui若i→+∞limnui=l>0则级数发散若i→+∞limnpui=l>=0(p>1)则级数收敛
- 例题
讨论p级数的敛散性:
1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + . . . + 1 ( n − 1 ) p + 1 n p 1 + \frac{1}{2^p}+ \frac{1}{3^p}+ \frac{1}{4^p}+ ... + \frac{1}{(n-1)^p}+ \frac{1}{n^p} 1+2p1+3p1+4p1+...+(n−1)p1+np1
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