无穷级数重要知识点

1. 部分和

$$s=\sum _{i=1}^n{u}_i$$

注意：部分和不是数列的一部分之和，而是一个极限的概念，此处的n是一个极限值，$n趋于正无穷！$一定要注意。

2. 调和级数

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

调和级数可以化为如下积分式：

$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^{+\infty }=\infty$$

可见调和级数发散。

调和级数是一个重要级数，是判断其他级数收敛的参考。若一个级数大于调和级数，则必定发散，若一个级数是调和级数的无穷小，则一定收敛。

2. 级数收敛的必要非充分条件

若级数${\sum }_{i=1}^{+\infty }{u}_i$收敛，则一般项$u_i$的极限为0。

此条件是级数收敛的必要条件而非充分条件。比如调和级数的一般项为0但是并不收敛。

3. 达朗贝尔判别法

$$\begin{gathered} 正向级数\sum _{i=1}^{+\infty }{u}_i \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\frac{u_{i+1}}{u_i}>1则级数发散 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\frac{u_{i+1}}{u_i}<1则级数收敛 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\frac{u_{i+1}}{u_i}=1则无法判别敛散性 \end{gathered}$$

证明：
（1）若${\lim }_{i\to +\infty }\frac{u_{i+1}}{u_i}=\rho >1,即u_{i+1}>u_i,即u_{i+1}=k{u}_i,k>1$

（2）若${\lim }_{i\to +\infty }\frac{u_{i+1}}{u_i}=\rho <1,即u_{i+1}<u_i,即u_{i+1}=k{u}_i,k<1$

通过考察等比数列（几何级数）的求和公式：$$a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$
当公比q大于1时，几何级数发散，当q小于1时几何级数收敛于$a_1\frac{1}{1-q}$。

故达朗贝尔判别法得证。

4. 柯西判别法

$$\begin{gathered} 正向级数\sum _{i=1}^{+\infty }{u}_i \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{n}>1则级数发散 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{n}<1则级数收敛 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1则无法判别敛散性 \end{gathered}$$

证明方式也参考达朗贝尔判别法。

5. 极限审敛法
$$\begin{gathered} 正向级数\sum _{i=1}^{+\infty }{u}_i \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }n{u}_i=l>0则级数发散 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }{n}^p{u}_i=l>=0(p>1)则级数收敛 \end{gathered}$$

6. 例题

讨论p级数的敛散性：
$$1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+...+\frac{1}{(n-1{)}^p}+\frac{1}{n^p}$$