当前位置: 首页 > news >正文

无穷级数重要知识点

  1. 部分和

s = ∑ i = 1 n u i s = \sum_{i=1}^{n} u _{i} s=i=1nui

注意:部分和不是数列的一部分之和,而是一个极限的概念,此处的n是一个极限值, n 趋于正无穷! \color{red}n趋于正无穷! n趋于正无穷!一定要注意。

  1. 调和级数

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + . . . + 1 n − 2 + 1 n − 1 + 1 n (1.1) 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +... + \frac{1}{n-2} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \tag{1.1} 1+21+31+41+51+...+n21+n11+n1(1.1)

调和级数可以化为如下积分式:

∫ 1 + ∞ 1 x d x = ln ⁡ x ∣ 1 + ∞ = ∞ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}dx = \ln x |_{1}^{+\infty} = \infty 1+x1dx=lnx1+=

可见调和级数发散。

调和级数是一个重要级数,是判断其他级数收敛的参考。若一个级数大于调和级数,则必定发散,若一个级数是调和级数的无穷小,则一定收敛。

  1. 级数收敛的必要非充分条件

若级数 ∑ i = 1 + ∞ u i \sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} i=1+ui收敛,则一般项 u i u_{i} ui的极限为0。

此条件是级数收敛的必要条件而非充分条件。比如调和级数的一般项为0但是并不收敛。

  1. 达朗贝尔判别法

正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i > 1 则级数发散 若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i < 1 则级数收敛 若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i = 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} > 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} < 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =1则无法判别敛散性 正向级数i=1+uii+limuiui+1>1则级数发散i+limuiui+1<1则级数收敛i+limuiui+1=1则无法判别敛散性

证明:
(1)若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i = ρ > 1 , 即 u i + 1 > u i , 即 u i + 1 = k u i , k > 1 \lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =\rho >1, 即u_{i+1} >u_{i}, 即u_{i+1} = ku_{i},k> 1 limi+uiui+1=ρ>1,ui+1>ui,ui+1=kui,k>1

(2)若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i = ρ < 1 , 即 u i + 1 < u i , 即 u i + 1 = k u i , k < 1 \lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =\rho <1, 即u_{i+1} <u_{i}, 即u_{i+1} = ku_{i},k < 1 limi+uiui+1=ρ<1,ui+1<ui,ui+1=kui,k<1

通过考察等比数列(几何级数)的求和公式: a 1 1 − q n 1 − q a_{1}\frac{1-q^{n}}{1- q} a11q1qn
当公比q大于1时,几何级数发散,当q小于1时几何级数收敛于 a 1 1 1 − q a_{1} \frac{1}{1-q} a11q1

故达朗贝尔判别法得证。

  1. 柯西判别法

正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim ⁡ i → + ∞ n n > 1 则级数发散 若 lim ⁡ i → + ∞ n n < 1 则级数收敛 若 lim ⁡ i → + ∞ n n = 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} \sqrt [n] n> 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty}\sqrt [n] n < 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to +\infty} \sqrt [n] n =1则无法判别敛散性 正向级数i=1+uii+limnn >1则级数发散i+limnn <1则级数收敛i+limnn =1则无法判别敛散性

证明方式也参考达朗贝尔判别法。

5. 极限审敛法
正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim ⁡ i → + ∞ n u i = l > 0 则级数发散 若 lim ⁡ i → + ∞ n p u i = l > = 0 ( p > 1 ) 则级数收敛 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} n u_{i} = l > 0则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty} n^p u_{i} = l >= 0(p > 1)则级数收敛 正向级数i=1+uii+limnui=l>0则级数发散i+limnpui=l>=0(p>1)则级数收敛

  1. 例题

讨论p级数的敛散性:
1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + . . . + 1 ( n − 1 ) p + 1 n p 1 + \frac{1}{2^p}+ \frac{1}{3^p}+ \frac{1}{4^p}+ ... + \frac{1}{(n-1)^p}+ \frac{1}{n^p} 1+2p1+3p1+4p1+...+(n1)p1+np1

相关文章:

无穷级数重要知识点

部分和 s ∑ i 1 n u i s \sum_{i1}^{n} u _{i} si1∑n​ui​ 注意&#xff1a;部分和不是数列的一部分之和&#xff0c;而是一个极限的概念&#xff0c;此处的n是一个极限值&#xff0c; n 趋于正无穷&#xff01; \color{red}n趋于正无穷&#xff01; n趋于正无穷&#x…...

【MyBatis】快速入门

1、简介 MyBatis是一个持久化、轻量级的半自动化ORM框架&#xff0c;封装了所有JDBC的原始操作。查询参数以及获取结果集等。 1.1 原始JDBC操作存在的问题 &#xff08;1&#xff09;数据库连接、释放频繁造成系统资源浪费&#xff0c;影响系统性能 &#xff08;2&#xff09;…...

【gtpJavaScript】使用JavaScript实现套壳gtp与gtp打字输出效果

postman测试gtp接口 https://platform.openai.com/docs/api-reference/chat/create?langcurl 导入到postman中 记得弄一个gtp的key 然后请求测试gtp接口&#xff1a; 纯前端实现gtp请求页面 目录结构&#xff1a; 部分参考&#xff1a;GitHub - xxxjkk/chat-website: 简易版c…...

C++内存管理(2)new、delete详解

目录 new operator&#xff08;new操作&#xff09; new类对象时加不加括号的差别 new工作任务 delete工作任务 new和delete 堆区空间操作&#xff08;对比malloc和free&#xff09; new和delete操作基本类型的空间 new和delete操作基本类型的数组 new和delete操作类的…...

ELK集群搭建流程(实践可用)

一、概述 ELK 是一个由三个开源软件工具组成的数据处理和可视化平台&#xff0c;包括 Elasticsearch、Logstash 和 Kibana。这些工具都是由 Elastic 公司创建和维护的。 Elasticsearch 是一个分布式的搜索和分析引擎&#xff0c;可以将大量数据存储在一个或多个节点上&#xf…...

react-quill富文本 中文输入法触发change问题

使用的富文本是编辑器 react-quill 需求&#xff1a; 点击按钮插入自定义颜色文字&#xff0c;然后手动输入为正常颜色。 问题&#xff1a; quill组件把带颜色的字体创建个dom, 临近的文字都会整合进一个dom中&#xff0c;导致输入的文字和插入的带颜色 都统一成一个颜色了…...

Upload-labs 1~15 通关详细教程

文章目录 Upload-labs 1~15 通关详细教程Pass-01-前端js验证Pass-02-后端MIME验证Pass-03-黑名单验证Pass-04-黑名单验证.htaccessPass-05-文件后缀名大小写绕过Pass-06-文件后缀名空格绕过Pass-07-文件后缀名点绕过Pass-08-文件后缀名::$DATA绕过Pass-09-点空格点空格绕过Pass…...

ChatGPT分析日本排放核污水对世界的影响

文章目录 1 背景2 环境影响3 健康影响4 国际关系影响5 应对措施 近段时间被日本排放核污水到海里的消息刷屏了&#xff0c;这一举措引发了广泛的关注和担忧。本文结合ChatGPT来分析这件事的前因后果、会对世界造成的影响、以及应对措施。 1 背景 受2011年发生的大地震及海啸影响…...

eclipse进入断点之后,一直卡死,线程一直在运行【记录一种情况】

问题描述: 一直卡死在某个断点处&#xff0c;取消断点也是卡死在这边的进程处。 解决方式&#xff1a; 将JDK的使用内存进行了修改 ① 打开eclipse&#xff0c;window->preference->Java->Installed JREs&#xff0c;选中使用的jdk然后点击右侧的edit&#xff0c;在…...

2.5 动态字符串 String (完整源码)

C自学精简教程 目录(必读) C数据结构与算法实现&#xff08;目录&#xff09; 本文的实现基本上和 动态数组 vector 是一样的。 因为大部分接口都一样。 所以&#xff0c;本文就直接给出全部的源码和运行结果。 //------下面的代码是用来测试你的代码有没有问题的辅助代码…...

Ansible之变量

一&#xff09;Ansible变量介绍 我们在PlayBook⼀节中&#xff0c;将PlayBook类⽐成了Linux中的shell。 那么它作为⼀⻔Ansible特殊的语⾔&#xff0c;肯定要涉及到变量定义、控 制结构的使⽤等特性。 在这⼀节中主要讨论变量的定义和使⽤ 二&#xff09;变量命名规则 变量的…...

自动化测试面试常见技术题目

1&#xff1a;一行代码实现1--100之和 print(sum(list(range(1,101)))) 2&#xff1a;如何在一个函数内部修改全局变量 global  修改全局变量 局部作用域只能调用全局作用域的变量&#xff0c;但是不熊修改全局作用域的变量&#xff0c;如果想要修改全局作用域的变量需要gl…...

aarch64 arm64 部署 stable diffusion webui 笔记 【2】继续安装其他依赖 gfpgan

接上篇 aarch64 arm64 部署 stable diffusion webui 笔记 【1】准备 venv 安装pytorch 验证cuda_hkNaruto的博客-CSDN博客 编辑requirements_versions.txt&#xff0c;注释掉torch 启动webui.sh (venv) [rootceph3 stable-diffusion-webui]# useradd yeqiang useradd&#xf…...

使用ECS和RDS部署WordPress,搭建个人博客并使用域名访问

目录 一、准备工作 1、准备ECS服务器 2、创建数据库账号和密码 二、部署环境 1、远程连接 2、安装Apache服务 3、部署WordPress 三、对博客的优化并使用域名访问 1、博客的设计优化 1.1 插件的使用 1.2 博客的设计介绍 2、使用域名访问 四、个人博客部署的心得 1…...

C# Winform 简单排期实现(DevExpress TreeList)

排期的需求在很多任务安排的系统中都有相应的需求&#xff0c;原生的Winform控件并未提供相应的控件&#xff0c;一般都是利用DataGridViewTreeView组合完成相应的需求&#xff0c;实现起来比较麻烦。用过DevExpress控件集的开发者应该知道&#xff0c;DevExpress WinForm提供了…...

2023高教社杯国赛数学建模C题思路+模型+代码(9.7晚开赛后第一时间更新)

目录 1.C题思路模型&#xff1a;9.7晚上比赛开始后&#xff0c;第一时间更新&#xff0c;获取见文末名片 2.竞赛注意事项&#xff1a;包括比赛流程&#xff0c;任务分配&#xff0c;时间把控&#xff0c;论文润色&#xff0c;已经发布在文末名片中 3.常用国赛数学建模算法 …...

QT6中添加串口模块SerialPort最简单方法

qt6.2.3以上版本已经开始支持SerialPort包了&#xff0c;不用在傻傻的自己去编译包了。 在安装的时候勾选SerialPort即可。 等着安装完即可。 如果已经安装完了的小伙伴&#xff0c;可以用 从新打开维护 选择增加或者删除组件 即可从新选择组件...

LeetCode每日一题:1123. 最深叶节点的最近公共祖先(2023.9.6 C++)

目录 1123. 最深叶节点的最近公共祖先 题目描述&#xff1a; 实现代码与解析&#xff1a; dfs 原理思路&#xff1a; 1123. 最深叶节点的最近公共祖先 题目描述&#xff1a; 给你一个有根节点 root 的二叉树&#xff0c;返回它 最深的叶节点的最近公共祖先 。 回想一下&…...

Oracle查看锁表和正在执行的Sql

查看当前被锁的表&#xff08;需要有管理员权限&#xff09;&#xff1a; --查看锁表进程SQL语句1&#xff1a; select sess.sid,sess.serial#,lo.oracle_username,lo.os_user_name,ao.object_name,lo.locked_modefrom v$locked_object lo, dba_objects ao, v$session sesswh…...

Linux centos 卸载 ceph

在CentOS上卸载Ceph的操作步骤&#xff1a; 1. 停止Ceph集群&#xff1a;首先&#xff0c;你需要停止Ceph集群中的所有服务。在每个节点上运行以下命令来停止所有服务 systemctl stop ceph.target 2. 卸载Ceph软件包&#xff1a;在每个节点上&#xff0c;使用yum包管理器卸载C…...

可靠性+灵活性:电力载波技术在楼宇自控中的核心价值

可靠性灵活性&#xff1a;电力载波技术在楼宇自控中的核心价值 在智能楼宇的自动化控制中&#xff0c;电力载波技术&#xff08;PLC&#xff09;凭借其独特的优势&#xff0c;正成为构建高效、稳定、灵活系统的核心解决方案。它利用现有电力线路传输数据&#xff0c;无需额外布…...

Qt Widget类解析与代码注释

#include "widget.h" #include "ui_widget.h"Widget::Widget(QWidget *parent): QWidget(parent), ui(new Ui::Widget) {ui->setupUi(this); }Widget::~Widget() {delete ui; }//解释这串代码&#xff0c;写上注释 当然可以&#xff01;这段代码是 Qt …...

【项目实战】通过多模态+LangGraph实现PPT生成助手

PPT自动生成系统 基于LangGraph的PPT自动生成系统&#xff0c;可以将Markdown文档自动转换为PPT演示文稿。 功能特点 Markdown解析&#xff1a;自动解析Markdown文档结构PPT模板分析&#xff1a;分析PPT模板的布局和风格智能布局决策&#xff1a;匹配内容与合适的PPT布局自动…...

基于数字孪生的水厂可视化平台建设:架构与实践

分享大纲&#xff1a; 1、数字孪生水厂可视化平台建设背景 2、数字孪生水厂可视化平台建设架构 3、数字孪生水厂可视化平台建设成效 近几年&#xff0c;数字孪生水厂的建设开展的如火如荼。作为提升水厂管理效率、优化资源的调度手段&#xff0c;基于数字孪生的水厂可视化平台的…...

Python ROS2【机器人中间件框架】 简介

销量过万TEEIS德国护膝夏天用薄款 优惠券冠生园 百花蜂蜜428g 挤压瓶纯蜂蜜巨奇严选 鞋子除臭剂360ml 多芬身体磨砂膏280g健70%-75%酒精消毒棉片湿巾1418cm 80片/袋3袋大包清洁食品用消毒 优惠券AIMORNY52朵红玫瑰永生香皂花同城配送非鲜花七夕情人节生日礼物送女友 热卖妙洁棉…...

基于Java+MySQL实现(GUI)客户管理系统

客户资料管理系统的设计与实现 第一章 需求分析 1.1 需求总体介绍 本项目为了方便维护客户信息为了方便维护客户信息&#xff0c;对客户进行统一管理&#xff0c;可以把所有客户信息录入系统&#xff0c;进行维护和统计功能。可通过文件的方式保存相关录入数据&#xff0c;对…...

【C++进阶篇】智能指针

C内存管理终极指南&#xff1a;智能指针从入门到源码剖析 一. 智能指针1.1 auto_ptr1.2 unique_ptr1.3 shared_ptr1.4 make_shared 二. 原理三. shared_ptr循环引用问题三. 线程安全问题四. 内存泄漏4.1 什么是内存泄漏4.2 危害4.3 避免内存泄漏 五. 最后 一. 智能指针 智能指…...

HubSpot推出与ChatGPT的深度集成引发兴奋与担忧

上周三&#xff0c;HubSpot宣布已构建与ChatGPT的深度集成&#xff0c;这一消息在HubSpot用户和营销技术观察者中引发了极大的兴奋&#xff0c;但同时也存在一些关于数据安全的担忧。 许多网络声音声称&#xff0c;这对SaaS应用程序和人工智能而言是一场范式转变。 但向任何技…...

macOS 终端智能代理检测

&#x1f9e0; 终端智能代理检测&#xff1a;自动判断是否需要设置代理访问 GitHub 在开发中&#xff0c;使用 GitHub 是非常常见的需求。但有时候我们会发现某些命令失败、插件无法更新&#xff0c;例如&#xff1a; fatal: unable to access https://github.com/ohmyzsh/oh…...

土建施工员考试:建筑施工技术重点知识有哪些?

《管理实务》是土建施工员考试中侧重实操应用与管理能力的科目&#xff0c;核心考查施工组织、质量安全、进度成本等现场管理要点。以下是结合考试大纲与高频考点整理的重点内容&#xff0c;附学习方向和应试技巧&#xff1a; 一、施工组织与进度管理 核心目标&#xff1a; 规…...