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【理解线性代数】（四）线性运算的推广与矩阵基础

news 2025/7/7 14:59:38

1. 数值加法和乘法

数值加法与乘法，是小学数学课程中的基本数学运算。例如：

加法：1+1=2
乘法：2*2=4

在这个知识层次下，运算的基本单位是数字。

2. 从数值到向量

数值加法，可以看作一维空间中的向量加法，即：

加法：(1) + (1) = (2)

数值乘法，可以看作一维空间中的向量乘法，即：

乘法：(2) * (2) = 2 * 2 * cos(0) = 4

通过将数值推广成一维向量，实现了数值和向量概念的统一。在这个知识层次下，向量是运算的基本单位。

3. 向量到矩阵

向量加法和乘法，总是两两进行运算，这种运算比较简单。

现实应用中，往往需要对很多向量组成的向量集合进行批量运算，向量批量运算有何规律？为了研究向量的批量运算，需要将一个向量集合视为一个整体，这个整体看起来是矩形的数字阵列，所以叫做矩阵。例如下图是一个矩阵，此矩阵由 (a, b, c) 和 (d, e, f) 两个三维向量组成：
$\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \end{pmatrix}$

矩阵的行数表示向量个数，矩阵的列数表示向量的维度。

目前，矩阵仅仅表示多个向量的组合，没有其他任何含义，不需要想得太复杂。

下面将根据我们自己的理解，对矩阵运算规则进行推导，然后再和教科书上的运算规则进行比对，从而验证我们的理论。

3.1 矩阵加法

矩阵加法含义很简单，就是一组向量加上另外一组向量，对应位置的向量相加即可。因为向量相加，必须在两个向量之间进行，所以矩阵相加，两个相加的矩阵包含的向量个数必须相等，否则会因为缺少向量而无法进行。

可以正确进行的矩阵加法如下：
$\begin{pmatrix} a1 & b1 & c1\\ d1 & e1 & f1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a2 & b2 & c2\\ d2 & e2 & f2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a1+a2 & b1+b2 & c1+c2\\ d1+d2 & e1+e2 & f1+f2 \end{pmatrix}$

无法进行的矩阵加法如下：
$\begin{pmatrix} a1 & b1 & c1\\ d1 & e1 & f1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a2 & b2 & c2 \end{pmatrix} = 非法$

3.2 矩阵乘法

下面从简单向复杂推导矩阵乘法运算规则。

3.2.1 **1行3列矩阵 * 1行3列矩阵**

设矩阵A：
$\begin{pmatrix} a1 & b1 & c1 \end{pmatrix}$

和矩阵B
$\begin{pmatrix} a2 & b2 & c2 \end{pmatrix}$

进行乘法运算，因为只有两个向量，可以尝试将这两个向量进行点乘运算，即：
$A * B = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = (a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2)$

结果是一个数值，也可以看作是一个一维向量。

分析：
矩阵A包含1个三维向量，矩阵B包含1个三维向量，矩阵B可以代表三维空间中的一个一维空间，所以A中的所有向量投影到B，最终的结果变成了一个一维向量，符合我们对向量点乘及矩阵的理解。

3.2.2 2行3列矩阵 * 1行3列矩阵

增加矩阵A的行数，设矩阵A：
$\begin{pmatrix} a1 & b1 & c1 \\ d1 & e1 & f1 \end{pmatrix}$

和矩阵B
$\begin{pmatrix} a2 & b2 & c2 \end{pmatrix}$

进行乘法运算，尝试分别进行点乘运算，即：
$\begin{pmatrix} a1a2 + b1b2 + c1c2 \\ d1a2 + b1b2 + c1c2 \end{pmatrix}$

结果矩阵是一个2行1列的矩阵。

分析：
矩阵A包含2个三维向量，矩阵B包含1个三维向量，矩阵B可以代表三维空间中的一个一维空间，所以A中的所有向量投影到B，最终的结果变成了2个一维向量，符合我们对向量点乘及矩阵的理解。

3.2.3 2行3列矩阵 * 2行3列矩阵

设矩阵A：
$\begin{pmatrix} a1 & b1 & c1 \\ d1 & e1 & f1 \end{pmatrix}$

和矩阵B
$\begin{pmatrix} a2 & b2 & c2 \\ d2 & e2 & f2 \end{pmatrix}$

进行乘法运算，尝试分别进行点乘运算，即：
$\begin{pmatrix} a1a2 + b1b2 + c1c2 & a1d2+b1e2+c1f2\\ d1a2 + e1b2 + f1c2 & d1d2+e1e2+f1f2 \end{pmatrix}$

结果矩阵是一个2行2列的矩阵。

分析：
矩阵A包含2个二维向量，矩阵B包含2个三维向量，矩阵B可以代表三维空间中的一个二维平面空间（两条线组成一个面），所以A中的所有向量投影到B，最终的结果变成了2个二维向量，符合我们对向量点乘及矩阵的理解。

这个矩阵乘法稍微有些复杂，但有计算过程中有一个量没变，那就是矩阵A中向量的个数等于变换结果矩阵中向量的个数，即矩阵A的行数和变换结果矩阵的行数相等。在行数相等不变的情况下，只能将向
量点乘的结果按列依次向后摆放，最终，结果矩阵的列数，和矩阵B的行数相同。

3.2.4 矩阵不能相乘的情况

如果两个矩阵列数不同，也就是维度不同，还能相乘吗？

不能，因为向量点乘要求两个向量具有相同的维度，如果两个矩阵列数不同，矩阵中的向量互相无法进行点乘。不同维度的向量，坐标个数不一样，无法做乘法。

所以，两个矩阵相乘，必须乘号两边的矩阵有相同的维度。

3.2.5 推广

以
$A * B = C$
为例。

只要矩阵A和矩阵B的列数相同，不管矩阵A、矩阵B各自有多少行，都可以进行相乘。并且有：

结果矩阵C包含的向量个数和A中的向量个数相同，投影过程是一个线性变换，向量个数不会增加也不会减少，故投影前后向量个数不变。
结果矩阵C的向量维度和矩阵B的维度相同，因为矩阵C包含的向量，是矩阵A向矩阵B的投影，所以它们全部位于矩阵B所代表的空间中，所以C和B的维度必然相同。

3.2.6 验证复杂矩阵相乘：2行3列矩阵 * 3行3列矩阵

设矩阵A：
$\begin{pmatrix} a1 & b1 & c1 \\ d1 & e1 & f1 \end{pmatrix}$

和矩阵B
$\begin{pmatrix} a2 & b2 & c2 \\ d2 & e2 & f2 \\ g2 & h2 & i2 \end{pmatrix}$

进行乘法运算，结果为：
$\begin{pmatrix} a1a2 + b1b2 + c1c2 & a1d2+b1e2+c1f2 & a1g2+b1h2+c1i2\\ d1a2 + e1b2 + f1c2 & d1d2+e1e2+f1f2 & d1g2+e1h2+f1i2 \end{pmatrix}$

结果矩阵是一个2行3列的矩阵。

分析：
矩阵A包含2个三维向量，矩阵B包含3个三维向量，矩阵B可以代表三维空间中的一个三维立体子空间，所以A中的所有向量投影到B，最终的结果变成了2个三维向量，符合我们对向量点乘及矩阵的理解。

3.2.7 和书本理论进行比较

书本上的矩阵规则和我们理解的矩阵只有一点不同。还是以
$A * B = C$
为例。

书本上将矩阵B，进行了转置。也就是说，B矩阵中的向量，按照我们的理解，应该一行一行依次摆放，但是书本上规定应该竖着依次摆放。为什么？因为书本规定，矩阵A乘矩阵B，矩阵A的每一个行向量要和矩阵B的每一个列向量进行点乘，而我们的运算规则是矩阵A的每一个行向量要和矩阵B的每一个行向量进行点乘，所以在书本上规定的运算规则下，必须将向量B进行转置。其实运算结果和原理是完全一样的。

3.2.8 特别的变换

如果矩阵B为三行三列的单位矩阵（单位矩阵用E表示），即
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

任意一个m行3列的矩阵A，乘以矩阵B，都等于矩阵A本身，即
$A * B = A * E = A$

这个大家可以自己尝试演算一下。我们这里不做演算，我们这里做一个理论分析：

B矩阵为单位矩阵时，B矩阵所代表的空间，和当前的整个三维空间完全重合。矩阵A乘矩阵B，就是将矩阵A变换到原空间，而且不改变向量的长度，那么变换结果必然也和A重合，也就是说结果等于A。通过分析，我们可以很容易地理解，为什么一个矩阵乘以单位矩阵，结果是它本身。

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