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【2023年数学建模国赛】D题解题思路

2023年数学建模国赛D题解题思路

为了解决问题1、问题2和问题3,我们可以采用动态规划方法来制定生产计划,考虑了不确定性因素和多种可能情况的预案集。首先,我们需要定义一些变量和符号:

  • T T T:总的养殖周期(年数)。
  • S S S:每个养殖周期的季节数(假设一年有4个季节)。
  • B B B:每个季节的基础母羊数量。
  • R R R:每个季节的种公羊数量。
  • P P P:每个季节的怀孕期母羊数量。
  • D D D:每个季节的分娩期母羊数量。
  • L L L:每个季节的哺乳期母羊数量。
  • C C C:每个季节的育肥期羔羊数量。
  • A A A:每个季节的空怀休整期母羊数量。

接下来,我们需要建立一个决策变量,即每个季节的配种数量,用 X X X表示。

为了解决问题1和问题2,我们可以制定如下的数学模型:

问题1模型:

目标函数:
最大化年化出栏羊只数量,即最大化 ∑ t = 1 T ∑ s = 1 S ( 2 D t , s + C t , s ) \sum_{t=1}^{T} \sum_{s=1}^{S} (2D_{t,s} + C_{t,s}) t=1Ts=1S(2Dt,s+Ct,s)

约束条件:

  1. 每个季节的基础母羊数量不能超过14只: B t , s ≤ 14 B_{t,s} \leq 14 Bt,s14
  2. 每个季节的种公羊数量不能超过4只: R t , s ≤ 4 R_{t,s} \leq 4 Rt,s4
  3. 怀孕期母羊数量为分娩期母羊的85%: P t , s = 0.85 D t , s P_{t,s} = 0.85D_{t,s} Pt,s=0.85Dt,s
  4. 空怀休整期母羊数量为分娩期母羊的15%: A t , s = 0.15 D t , s A_{t,s} = 0.15D_{t,s} At,s=0.15Dt,s
  5. 哺乳期母羊数量等于分娩期母羊数量加上前一季节哺乳期母羊数量: L t , s = D t , s + L t − 1 , s L_{t,s} = D_{t,s} + L_{t-1,s} Lt,s=Dt,s+Lt1,s
  6. 羔羊数量等于前一季节哺乳期母羊数量: C t , s = L t − 1 , s C_{t,s} = L_{t-1,s} Ct,s=Lt1,s

问题2模型:

目标函数:
最大化年化出栏羊只数量,即最大化 ∑ t = 1 T ∑ s = 1 S ( 2 D t , s + C t , s ) \sum_{t=1}^{T} \sum_{s=1}^{S} (2D_{t,s} + C_{t,s}) t=1Ts=1S(2Dt,s+Ct,s)

约束条件:
与问题1相同,不同的是我们不再限制 B t , s B_{t,s} Bt,s R t , s R_{t,s} Rt,s的数量,而是将它们作为决策变量,可以在每个季节自由调整。

问题3模型:

问题3考虑了不确定性因素和多种可能情况的预案集。为了解决问题3,我们可以使用动态规划方法,从第一个季节开始逐季节制定决策,以最小化整体方案的期望损失。具体步骤如下:

  1. 初始化:从第一个季节开始,将 B 1 , 1 B_{1,1} B1,1 R 1 , 1 R_{1,1} R1,1作为决策变量,计算所有可能情况下的 D 1 , 1 D_{1,1} D1,1 P 1 , 1 P_{1,1} P1,1 L 1 , 1 L_{1,1} L1,1 C 1 , 1 C_{1,1} C1,1

  2. 逐季节迭代:对于每个季节 s s s,根据上一季节的结果和不确定性因素计算 B t , s B_{t,s} Bt,s R t , s R_{t,s} Rt,s,然后计算 D t , s D_{t,s} Dt,s P t , s P_{t,s} Pt,s L t , s L_{t,s} Lt,s C t , s C_{t,s} Ct,s。在每个季节中,选择使得期望损失最小的决策。

  3. 计算期望损失:在每个季节中,根据不同情况下的羊栏使用情况,计算期望损失。

  4. 终止条件:重复步骤2和步骤3,直到养殖周期结束。

最终,得到的生产计划将考虑了不确定性因素,并在每个季节根据实际情况作出最佳决策,以最小化期望损失。这个模型可以通过计算机程序进行求解,以得到最优的生产计划。

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