二叉树（上)

   “路虽远，行则将至”

❤️主页：小赛毛

目录

1.树概念及结构

1.1树的概念

1.2 树的相关概念

 1.3 树的表示（树的存储）

2.二叉树概念及结构

2.1概念

2.2现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树：

2.4 二叉树的性质 

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

3.2 堆的概念及结构

3.3 堆的实现

3.2.1 堆向下调整算法

 3.2.2堆的创建

前言：

在进入今天的正题之前，我们先来回顾一下我们已经学过的知识：

顺序的本质是什么呢？数组

但是呢，顺序表在这里是有一些缺陷的：

1.中间或者头部插入删除数据要挪动数据，效率低

2.空间不够，只能扩容。扩容有消耗

3.倍数扩容，用不完，存在空间浪费

当然，有利有弊，优点：

1.下标随机访问。排序 二分查找适合

2.CPU高速缓存命中率比较高

在我们学完顺序表之后呢，我们当时顺序就学了链表：

在这里呢，我们要请出链表的典型代表——带头结点的双向循环链表 同志来参加。

优点：

1.任意位置插入删除效率高

2.按需申请释放，不存在扩容

缺点：

1.不能下标随机访问

2.CPU高速缓存命中率低

---

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；（并查集里面就是多棵树）

 1.3 树的表示（树的存储）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

下面就给大家展示一下这个贼🐂🍺的方法（ 左孩子、右兄弟表示法）：

struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* firstchild;//第一个孩子节点struct TreeNode* nextbroyher;//指向其下一个兄弟节点
}

双亲表示法（只存储父亲的下标或指针）：

在很多地方，双亲表示法一般就是用数组的方式直接玩 

这个地方就可以很容易判断出来有几棵树，有几个兄弟。

于是否，两个节点在不在同一棵树，如何判断？

找根，根相同就在同一棵树

---

其实呢，在实际生活中，我们用的最多的实际上是二叉树

2.二叉树概念及结构

2.1概念

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点 （最多两个孩子 也可以是一个或零个）

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树：

1. 满二叉树 （假设它有h层，每一层都是满的） ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2的k次方-1 则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质 

 

1.若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第 i 层上最多有 2^(i-1)个结点.

2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是2^h-1

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为n0  , 度为 2 的分支结点个数为n2  , 则有 n0＝n2 ＋ 1

4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， h= log以 2 为底，n+1 为对数

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

1. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点

2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子

3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

  parent = (child-1) / 2

任意位置通过下标可以找父亲或者孩子

那如果不是满二叉树或者完全二叉树的话，还适合这个规律吗？显然不可以

那我们这里可以进行总结：

满二叉树 或者 完全二叉树适合用数组存储

---

3.2 堆的概念及结构

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

3.3 堆的实现

3.2.1 堆向下调整算法

 我们在这里先来说明一下：

栈：线性表，后进先出

堆：非线性表，完全二叉树

小堆：树中任意一个父亲都 ≤ 孩子

大堆：树中任意一个父亲都 ≥ 孩子

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

intarray[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

 

底层：

• 物理结构：数组
• 逻辑结构：完全二叉树

小堆，底层数组是否升序呢？不一定

小堆的根是整棵树的最小值

 3.2.2堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

inta[] = {1,5,3,8,7,6};