算法通关村-----动态规划高频问题

最少硬币数问题

问题描述

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。你可以认为每种硬币的数量是无限的。详见leetcode322

问题分析

设f(n)为amount=n时使用的最少金币数。遍历coins数组，选择f(n-coins[i])(i=0,1,coins.length-1)的最小值，即为需要的最少硬币数，递归继续寻找f(n-coins[i])的最小值，初始时f(0)=0，如果一些总金额无法凑成时，可以使用amount+1填充数组。

代码实现

public int coinChange(int[] coins, int amount) {int[] res = new int[amount+1];int max = amount+1;Arrays.fill(res,max);res[0] = 0;int[] temp = new int[coins.length];for(int i=1;i<amount+1;i++){for(int j=0;j<coins.length;j++){int leftAmount = i - coins[j];temp[j] = leftAmount>=0?res[leftAmount]+1:max;}int min = max;for(int j=0;j<coins.length;j++){min = Math.min(temp[j],min);}res[i]= min;}if(res[amount]==max){return -1;}return res[amount];
}

最长连续递增子序列

问题描述

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], …, nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。详见leetcode674

问题分析

这道题，我们之前使用滑动窗口的方式也可以解决，使用动态规划解题时，对于连续递增子序列的最后一个元素nums[k],存在两种情况，第一种是最长连续递增子序列长度为1，连续递增子序列只包含一个元素nums[k]，第二种是存在k-1,使得nums[k-1]<num[k]，设f[k]为到下标k处的连续递增子序列长度，则，如果nums[k-1]>=nums[k],f[k]=1,否则f[k]=f[k-1]+1,初始值f[0]=1,

代码实现

滑动窗口实现

public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {     if(nums.length==0||nums.length==1){return nums.length;}int res = 1;int count =1;for(int i=1;i<nums.length;i++){if(nums[i-1]>=nums[i]){count =1;}else{count++;}if(count>res){res = count;}}return res;   
}

动态规划实现

public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];Arrays.fill(dp,1);int max = 1;for(int i=1;i<nums.length;i++){if(nums[i]>nums[i-1]){dp[i] = dp[i-1]+1;max = Math.max(dp[i],max);}}return max;
}

最长递增子序列

问题描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。详见leetcode300

问题分析

这道题与上一题相似，只是不需要连续递增。对于最长递增子序列的最后一个元素nums[k],存在两种情况，第一种是最长连续递增子序列长度为1，连续递增子序列只包含一个元素nums[k]，第二种是存在i,使得i<k,nums[i]<num[k]，设f[k]为到下标k处的连续递增子序列长度，则f[k] = max{f[i]+1}(i是所有nums[i]<nums[k]的集合)

代码实现

public int lengthOfLIS(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];Arrays.fill(dp,1);for(int i=1;i<nums.length;i++){for(int j=i-1;j>=0;j--){if(nums[j]<nums[i]&&dp[j]+1>dp[i]){dp[i] = dp[j]+1;}}}int max = 1;for(int i=0;i<nums.length;i++){max = Math.max(max,dp[i]);}return max;
}

最少完全平方数

问题描述

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。详见leetcode279

问题分析

设f(n)表示和为 n 的完全平方数的最少数量 。则f(n)=min{f(n-jj)+1}(j是满足所有jj<=n的j的集合).初始时f(0) = 0.

代码实现

public int numSquares(int n) {int[] f = new int[n+1];Arrays.fill(f,Integer.MAX_VALUE);f[0] = 0;for(int i=1;i<n+1;i++){for(int j=1;j*j<=i;j++){if(f[i-j*j]+1<f[i]){f[i] = f[i-j*j]+1;}}}return f[n];
}

跳跃游戏

问题描述

给你一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。判断你是否能够到达最后一个下标，如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。详见leetcode55

问题分析

设f(n)是一个boolean数组，为true表示可以跳到数组下标n处，为false表示无法跳到数组下标n处。f(n)为true的条件是f(i)为true，n-1-i<nums[i],初始时f(0)=true

public boolean canJump(int[] nums) {boolean[] f = new boolean[nums.length];Arrays.fill(f,false);f[0] = true;for(int i=1;i<nums.length;i++){for(int j=0;j<i;j++){if(f[j]&&j+nums[j]>=i){f[i] = true;break;}}} return f[nums.length-1];
}

总结

这部分动态规划问题需要我们你想推导，即如何由我们想要结果的前一个状态得到我们想要的结果（往往是最值，所以涉及从前面多个状态到当前状态的选择）。逆向推导得到状态转移方程f，确定初始条件，一步步填充dp数组，最终得到我们想要的结果并返回。