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3.2 埃尔米特转置

定义

  对于复矩阵,转置又不一样,常见的操作是共轭转置,也叫埃尔米特转置Hermitian transpose。埃尔米特转置就是对矩阵先共轭,再转置,一般来说用三种符号表示埃尔米特转置:

  1. 第一种符号是AHA^HAH,这是国内教材通用的做法,H是埃尔米特名字首字母;
  2. 第二种符号是A∗A^*A,这是国外教材喜欢用,这个符号在国内教材表示伴随矩阵,如以下文档:
    在这里插入图片描述
  3. 第三种符号是匕首符号A†A^{\dagger}A,但是有时候也用来表示矩阵的加号逆。

  求埃尔米特转置的代码比较简单,python就一行代码:

    # 埃尔米特转置def hermitian_transpose(self):return Matrix([[e.conjugate() for e in v] for v in self.__vectors]).transpose_matrix()

  测试了一个矩阵:
(1−i6−i2−8i2+i5+i4−i)H=(1+i2−i6+i5−i2+8i4+i)\begin{pmatrix}1-i & 6-i & 2-8i\\ 2+i & 5+i & 4-i\\ \end{pmatrix}^H= \begin{pmatrix}1+i & 2-i\\ 6+i & 5-i\\ 2+8i & 4+i\\ \end{pmatrix} (1i2+i6i5+i28i4i)H=1+i6+i2+8i2i5i4+i

埃尔米特阵

  如果一个矩阵,埃尔米特转置后还是它自己,这样的矩阵就是埃尔米特阵。毫无疑问,矩阵必须得是一个方阵。所以它的判断方式也很简单,首先判断是否为方阵,再以对角线为对称轴判断就完事了,但是要注意数据类型,把复数和其他类型区分开来,所以代码会稍微长一点:

# 是否埃尔米特阵def is_hermitian(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return False# 遍历每一行对角线以上的元素for i in range(m):for j in range(i+1, n):e = self.__vectors[j][i]f = self.__vectors[i][j]if isinstance(e, complex):if e != f.conjugate():return Falseelse:if e != f:return Falsereturn True

  比如以下矩阵就是一个埃尔米特阵:
(1−i2−i3+i2+i5+i3+i3−i3−i3−i)\begin{pmatrix}1-i & 2-i & 3+i\\ 2+i & 5+i & 3+i\\ 3-i & 3-i & 3-i\\ \end{pmatrix} 1i2+i3i2i5+i3i3+i3+i3i

酉矩阵

  一个方阵的逆矩阵恰好是自己的埃尔米特转置,这样的矩阵被称为酉矩阵unitary matrix,也就是:
AAH=AHA=IAA^H=A^HA=I AAH=AHA=I
  AAH=AHAAA^H=A^HAAAH=AHA这个定义就限制了必须为方阵。所以它的判断也比较简单:

   # 是否为酉矩阵def is_unitary(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return Falsex = self * self.hermitian_transpose()return x.is_identity()# 是否为单位矩阵def is_identity(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return Falsefor i in range(n):for j in range(n):if i == j:if self.__vectors[i][j] != 1:return Falseelif self.__vectors[i][j] != 0:return Falsereturn True

  比如以下两个矩阵就是一个酉矩阵:
(0.5−0.5i−0.5+0.5i0.5i0.50.5+0.5i0.5+0.5i−0.5+0.5i0)(0.5−0.5i0.5−0.5i0.5i0.5−0.5−0.5i−0.5−0.5i0.5−0.5i0)=(100010001)\begin{pmatrix}0.5 & -0.5i & -0.5+0.5i\\ 0.5i & 0.5 & 0.5+0.5i\\ 0.5+0.5i & -0.5+0.5i & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.5 & -0.5i & 0.5-0.5i\\ 0.5i & 0.5 & -0.5-0.5i\\ -0.5-0.5i & 0.5-0.5i & 0\\ \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} 0.50.5i0.5+0.5i0.5i0.50.5+0.5i0.5+0.5i0.5+0.5i00.50.5i0.50.5i0.5i0.50.50.5i0.50.5i0.50.5i0=100010001

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