3.2 埃尔米特转置

定义

  对于复矩阵，转置又不一样，常见的操作是共轭转置，也叫埃尔米特转置Hermitian transpose。埃尔米特转置就是对矩阵先共轭，再转置，一般来说用三种符号表示埃尔米特转置：

1. 第一种符号是$A^H$，这是国内教材通用的做法，H是埃尔米特名字首字母；
2. 第二种符号是$A^{\ast }$，这是国外教材喜欢用，这个符号在国内教材表示伴随矩阵，如以下文档：
   
3. 第三种符号是匕首符号$A^{†}$，但是有时候也用来表示矩阵的加号逆。

  求埃尔米特转置的代码比较简单,python就一行代码：

    # 埃尔米特转置def hermitian_transpose(self):return Matrix([[e.conjugate() for e in v] for v in self.__vectors]).transpose_matrix()

  测试了一个矩阵:
$${\left(\begin{array}{ccc}1-i& 6-i& 2-8i\\ 2+i& 5+i& 4-i\end{array}\right)}^H=\left(\begin{array}{cc}1+i& 2-i\\ 6+i& 5-i\\ 2+8i& 4+i\end{array}\right)$$

埃尔米特阵

  如果一个矩阵，埃尔米特转置后还是它自己，这样的矩阵就是埃尔米特阵。毫无疑问，矩阵必须得是一个方阵。所以它的判断方式也很简单，首先判断是否为方阵，再以对角线为对称轴判断就完事了，但是要注意数据类型，把复数和其他类型区分开来，所以代码会稍微长一点：

# 是否埃尔米特阵def is_hermitian(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return False# 遍历每一行对角线以上的元素for i in range(m):for j in range(i+1, n):e = self.__vectors[j][i]f = self.__vectors[i][j]if isinstance(e, complex):if e != f.conjugate():return Falseelse:if e != f:return Falsereturn True

  比如以下矩阵就是一个埃尔米特阵：
$$\left(\begin{array}{ccc}1-i& 2-i& 3+i\\ 2+i& 5+i& 3+i\\ 3-i& 3-i& 3-i\end{array}\right)$$

酉矩阵

  一个方阵的逆矩阵恰好是自己的埃尔米特转置，这样的矩阵被称为酉矩阵unitary matrix，也就是：
$$A{A}^H=A^{H}A=I$$
  $A{A}^H=A^{H}A$这个定义就限制了必须为方阵。所以它的判断也比较简单：

   # 是否为酉矩阵def is_unitary(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return Falsex = self * self.hermitian_transpose()return x.is_identity()# 是否为单位矩阵def is_identity(self):m = len(self.__vectors[0])n = len(self.__vectors)if m != n:return Falsefor i in range(n):for j in range(n):if i == j:if self.__vectors[i][j] != 1:return Falseelif self.__vectors[i][j] != 0:return Falsereturn True

  比如以下两个矩阵就是一个酉矩阵:
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{ccc}0.5& -0.5i& -0.5+0.5i\\ 0.5i& 0.5& 0.5+0.5i\\ 0.5+0.5i& -0.5+0.5i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0.5& -0.5i& 0.5-0.5i\\ 0.5i& 0.5& -0.5-0.5i\\ -0.5-0.5i& 0.5-0.5i& 0\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$