当前位置: 首页 > news >正文

数学建模——微分方程介绍

一、基础知识

1、一阶微分方程

称为一阶微分方程。y(x0)=y0为定解条件。

 其常规求解方法:

(1)变量分离

再两边积分就可以求出通解。

(2)一阶线性求解公式

通解公式:

有些一阶微分方程需要通过整体代换,比如u=x+y,u=xy,u=x/y,u=1/yn等化为以上两种类型求解后再还原。

2、二阶常系数微分方程

【1】

【2】

【1】为齐次,【2】为非齐次。

2.1 齐次【1】的通解构造

为【1】的特征方程。

(1)若特征方程有两个不同实根【1】通解为

(2)若特征方程有重根 【1】的通解为

 (3)若特征方程有一对共轭复根【1】通解为

 2.2 非齐次【2】的通解

 (1)若y*是【2】的一个特解,则【2】的通解为

 (2)若y1*是的一个特解,y2*的一个特解,则微分方程的通解为

 3、微分方程稳定性理论简介

3.1 一阶微分方程的平衡点及稳定性

 【3】

【3】的右端不含自变量t,称为自治方程,代数方程 f(x)=0的实根x=x0称为【1】的平衡点(奇点),它也是【1】的解(奇解)。

如果方程[3]的解从某个x(0)出发,满足 【4】

则称平衡点x0是稳定的,否则就不稳定。

若f(x)可微,则将f(x)在x0附近做一阶Taylor展开,则(1)就近似表达为【5】

当x-x00时R1(x)是高阶无穷小。则[5]是【1】的近似线性方程,x0也是[5]的平衡点,关于x0的稳定性,有如下结论:

(1)若x0对于【5】是稳定的;

(2)若x0对于【5】是不稳定的;

3.2 二元方程的平衡点及稳定性

【6】

【6】右端不显含t,称为自治方程,方程组【7】

的根x1=x10,x2=x20称为【6】的平衡点,记为p0(x10,x20).

如果【8】

称p0为稳定的;否则称为不稳定的。

(1)线性常系数方程的稳定性讨论

【9】

设【9】的系数矩阵为A,当|A|≠0时,【9】有唯一的平衡点p0(0,0)。若A有两个特征根

【10】

(1*)若两个特征根都为负数或有负实部,则p0是平稳的;即p>0,q>0,平衡点稳定;

(2*)若两个特征根有一个为正或正实部,则p0是不稳定的。即p<0或q<0,平衡点不稳定;

(2)非线性二元方程,在p0(x10,x20)的稳定性讨论方法如下:

剩下的判断方法同上。

相关文章:

数学建模——微分方程介绍

一、基础知识 1、一阶微分方程 称为一阶微分方程。y(x0)y0为定解条件。 其常规求解方法&#xff1a; &#xff08;1&#xff09;变量分离 再两边积分就可以求出通解。 &#xff08;2&#xff09;一阶线性求解公式 通解公式&#xff1a; 有些一阶微分方程需要通过整体代换…...

Minio入门系列【7】Spring Boot集成Minio

1 前言 之前介绍了如何使用Minio提供的JAVA SDK进行上传和下载文件&#xff0c;在此基础上&#xff0c;我们可以使用spring boot集成Minio JAVA SDK&#xff0c;添加自动配置、装配、客户端管理等功能&#xff0c;简化开发 2 Spring Boot集成Minio 2.1 环境搭建 首先我们搭…...

抖音视频下载.py(23年9月份可用)

声明:仅供学习交流使用!!! 抖音无水印视频下载; 首先登录抖音网页端 打开要下载的视频userId 然后编码实现下载 最后是完整代码,拿走就能用那种: # _*_ coding:utf-8 _*_import json import requests import time import randomheaders = """Accept: a…...

项目基本搭建流程

项目创立&#xff1a;webapp 设置maven 的和settings.xml 的地址 手动建立java文件夹和resource文件夹 一.分层 二.使用generator 来自动建立实体类dao 和dao接口,存放sql文件的xml&#xff1b;并复制到项目中&#xff08;路径可能可以直接设置&#xff09; 三. 配置文件&…...

学习pytorch11 神经网络-非线性激活

神经网络-非线性激活 官网文档常用1 ReLUinplace 常用2 Sigmoid 代码logs B站小土堆学习pytorch视频 非常棒的up主&#xff0c;讲的很详细明白 官网文档 https://pytorch.org/docs/stable/nn.html#non-linear-activations-weighted-sum-nonlinearity 常用1 ReLU 对输入做截断…...

Jenkins学习笔记2

Jenkins下载安装&#xff1a; 从清华源开源镜像站上下载jenkins的安装包&#xff1a; 安装的是这个版本。 关于软件的版本&#xff0c;尽量使用LTS&#xff0c;长期支持。 首先是安装openjdk&#xff1a; yum install fontconfig java-11-openjdk[rootlocalhost soft]# java …...

自动化测试:yaml结合ddt实现数据驱动!

在pythonunittestseleniumddt的框架中&#xff0c;数据驱动常见有以下几种方式实现&#xff1a; Csv/txtExcelYAML 本文主要给大家介绍测试数据存储在YAML文件中的使用场景。首先先来简单介绍一下YAML。 1. 什么是YAML 一种标记语言类似YAML&#xff0c;它实质上是一种通用…...

高效管理,轻松追踪——Chrono Plus for Mac任务管理工具

Chrono Plus for Mac是一款专注于任务管理和跟踪的应用程序。它提供了一种直观、清晰的界面&#xff0c;使您能够轻松创建、安排和分类任务。无论是个人项目还是团队合作&#xff0c;Chrono Plus都能为您提供一种有效组织和管理任务的方式。 这个应用程序具有多种强大的功能&a…...

python项目2to3方案预研

目录 官方工具2to3工具安装参数解释基本使用工具缺陷 future工具安装参数解释基本使用工具缺陷 python-modernize工具安装参数解释基本使用工具缺陷 pyupgrade工具安装参数解释基本使用工具缺陷 对比 官方工具2to3 2to3 是Python官方提供的用于将Python 2代码转换为Python 3代…...

MongoDB 是什么和使用场景概述(技术选型)

一、从NOSQL(Not Only SQL)说起 常见的数据库可以分为下面的两种类型&#xff1a; RDBMS&#xff08;关系型数据库&#xff09;&#xff1a;常见的关系型数据库有 Oracle、DB2、Microsoft SQL Server、Microsoft Access、MySQL&#xff1b;NoSQL&#xff08;非关系型数据库&a…...

打印 pyspark.sql.dataframe.DataFrame 有哪些列

在 PySpark 中&#xff0c;要打印 pyspark.sql.dataframe.DataFrame 的列&#xff0c;可以使用 columns 属性。以下是一个示例代码&#xff1a; from pyspark.sql import SparkSession# 创建 SparkSession spark SparkSession.builder.getOrCreate()# 假设您的 DataFrame 名称…...

什么是虚拟DOM(Virtual DOM)?它在前端框架中的作用是什么?

聚沙成塔每天进步一点点 ⭐ 专栏简介⭐ 什么是虚拟DOM&#xff08;Virtual DOM&#xff09;&#xff1f;⭐ 虚拟DOM 在前端框架中的作用⭐ 写在最后 ⭐ 专栏简介 前端入门之旅&#xff1a;探索Web开发的奇妙世界 欢迎来到前端入门之旅&#xff01;感兴趣的可以订阅本专栏哦&…...

QT实现简易时钟

头文件 #ifndef WIDGET_H #define WIDGET_H#include <QWidget> #include <QPaintEvent> #include <QDebug> #include <QPainter> #include <QTimerEvent> #include <QTimer> #include <QTime>QT_BEGIN_NAMESPACE namespace Ui { cl…...

win禁用更新,取消windows更新提示,禁用windows自动更新

取消windows自动更新 前言&#xff1a;跟着我的节奏一步一步点下去&#xff0c;就OK 第一步第二步第三步第四步第五步第六步第七步 新建文件第八步 新增文件名称&#xff1a;FlightSettingsMaxPauseDays第九步 设置暂停更新天数第十步 选中你设置的最大值 前言&#xff1a;跟着…...

倒计时列表实现(小程序端Vue)

//rich-text主要用来将展示html格式的&#xff0c;可以直接使用这个标签 <view class"ptBox" v-for"(item,index) in orderList" :key"index"> <rich-text :nodes"item.limit_time|limitTimeFilter"></rich-text>…...

ContentType:application/x-www-form-urlencoded请求方法遇到的坑【PHP】

有些API要求请求的内容类型为application/x-www-form-urlencoded function requestUrl($url,$datanull,$httpstrue,$methodpost){//1.初始化url$ch curl_init($url);//2.设置相关的参数//字符串不直接输出,进行一个变量的存储curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true)…...

RabbitMQ - 死信、TTL原理、延迟队列安装和配置

目录 一、死信交换机 1.1、什么是死信交换机 1.2、TTL 1.2.1、什么是 TTL 1.2.2、通过 TTL 模拟触发死信 二、延迟队列 2.1、什么是延迟队列 2.2、配置延迟队列插件 2.2.1、延迟队列配置 a&#xff09;下载镜像 b&#xff09;运行容器 c&#xff09;刚刚设定的Rabb…...

大数据与云计算实验一

检查是否开启 sudo service docker status 开启服务 sudo service docker start 运行服务 sudo docker run -itd -p 8080:80 nginx 查询ID docker ps -all 进入容器shell sudo docker exec -it <容器ID或容器名称> /bin/bash 找到/usr/share/nginx/html/index.…...

实施主品牌进化战略(一):确立主品牌进化架构

主品牌进化战略&#xff0c;即以主品牌为核心创造、巩固、转化竞争优势应对竞争环境变化&#xff0c;避免衰退&#xff0c;回归增长&#xff0c;让主品牌进化的方法论体系。主品牌进化战略制定要从 4 个方面出发&#xff1a;确立主品牌进化架构、更新和明确主品牌竞争方向、建立…...

linux搭建单机ES,集成ik分词器,文本抽取,Kibana可视化平台

Elasticsearch单机&#xff08;Linux&#xff09; 准备工作 第一项&#xff1a; 创建运行Elasticsearch和Kibana专用的普通用户&#xff0c;因为 elasticsearch 和 kibana 不允许使用 root用户启动&#xff0c;所以需要创建新用户启动。 linux用root权限创建一个用户赋权即可…...

web vue 项目 Docker化部署

Web 项目 Docker 化部署详细教程 目录 Web 项目 Docker 化部署概述Dockerfile 详解 构建阶段生产阶段 构建和运行 Docker 镜像 1. Web 项目 Docker 化部署概述 Docker 化部署的主要步骤分为以下几个阶段&#xff1a; 构建阶段&#xff08;Build Stage&#xff09;&#xff1a…...

XCTF-web-easyupload

试了试php&#xff0c;php7&#xff0c;pht&#xff0c;phtml等&#xff0c;都没有用 尝试.user.ini 抓包修改将.user.ini修改为jpg图片 在上传一个123.jpg 用蚁剑连接&#xff0c;得到flag...

stm32G473的flash模式是单bank还是双bank?

今天突然有人stm32G473的flash模式是单bank还是双bank&#xff1f;由于时间太久&#xff0c;我真忘记了。搜搜发现&#xff0c;还真有人和我一样。见下面的链接&#xff1a;https://shequ.stmicroelectronics.cn/forum.php?modviewthread&tid644563 根据STM32G4系列参考手…...

调用支付宝接口响应40004 SYSTEM_ERROR问题排查

在对接支付宝API的时候&#xff0c;遇到了一些问题&#xff0c;记录一下排查过程。 Body:{"datadigital_fincloud_generalsaas_face_certify_initialize_response":{"msg":"Business Failed","code":"40004","sub_msg…...

智慧工地云平台源码,基于微服务架构+Java+Spring Cloud +UniApp +MySql

智慧工地管理云平台系统&#xff0c;智慧工地全套源码&#xff0c;java版智慧工地源码&#xff0c;支持PC端、大屏端、移动端。 智慧工地聚焦建筑行业的市场需求&#xff0c;提供“平台网络终端”的整体解决方案&#xff0c;提供劳务管理、视频管理、智能监测、绿色施工、安全管…...

Python爬虫(二):爬虫完整流程

爬虫完整流程详解&#xff08;7大核心步骤实战技巧&#xff09; 一、爬虫完整工作流程 以下是爬虫开发的完整流程&#xff0c;我将结合具体技术点和实战经验展开说明&#xff1a; 1. 目标分析与前期准备 网站技术分析&#xff1a; 使用浏览器开发者工具&#xff08;F12&…...

成都鼎讯硬核科技!雷达目标与干扰模拟器,以卓越性能制胜电磁频谱战

在现代战争中&#xff0c;电磁频谱已成为继陆、海、空、天之后的 “第五维战场”&#xff0c;雷达作为电磁频谱领域的关键装备&#xff0c;其干扰与抗干扰能力的较量&#xff0c;直接影响着战争的胜负走向。由成都鼎讯科技匠心打造的雷达目标与干扰模拟器&#xff0c;凭借数字射…...

Redis数据倾斜问题解决

Redis 数据倾斜问题解析与解决方案 什么是 Redis 数据倾斜 Redis 数据倾斜指的是在 Redis 集群中&#xff0c;部分节点存储的数据量或访问量远高于其他节点&#xff0c;导致这些节点负载过高&#xff0c;影响整体性能。 数据倾斜的主要表现 部分节点内存使用率远高于其他节…...

.Net Framework 4/C# 关键字(非常用,持续更新...)

一、is 关键字 is 关键字用于检查对象是否于给定类型兼容,如果兼容将返回 true,如果不兼容则返回 false,在进行类型转换前,可以先使用 is 关键字判断对象是否与指定类型兼容,如果兼容才进行转换,这样的转换是安全的。 例如有:首先创建一个字符串对象,然后将字符串对象隐…...

JAVA后端开发——多租户

数据隔离是多租户系统中的核心概念&#xff0c;确保一个租户&#xff08;在这个系统中可能是一个公司或一个独立的客户&#xff09;的数据对其他租户是不可见的。在 RuoYi 框架&#xff08;您当前项目所使用的基础框架&#xff09;中&#xff0c;这通常是通过在数据表中增加一个…...