算法通关村第十五关——从40亿个数中产生一个不存在的数的处理方法

1.从40个亿中产生一个不存在的整数

题目要求：给定一个输入文件，包含40亿个非负整数，请设计一个算法，产生一个不存在该文件中的整数，假设你有1GB的内存来完成这项任务。****

解题中心思想：存储的不是这40亿个数据本身，而是其对应的位置。

本题不用写代码，能把方法过程说清楚就可以。

1.1 位图存储大数据的原理

方法：8 bit 为 1B，一个32位整数需要4B的存储空间，40亿个数就是 40亿 * 4B，约为16GB，用位图来做的话会更节省空间，因为位图的每个位置只能用0或1进行状态表示，这样就只需要40亿 / 8 = 5亿字节，也就是大约500M的存储空间。

过程：具体来做就是先遍历这40亿个数，并把遍历的每个数在位图上的相对位置设置为1。这40亿个数遍历结束后，开始遍历位图，看看哪个位置上的状态为0，就说明这个位置对应的数没有在40亿个数中出现，位图遍历结束后就能得到所有未在40亿个数中出现过的数。

1.2 使用10MB来存储呢？

如果使用10MB来存储，位图也搞不定了，这个时候就得使用分块思想，用时间换空间，通过两次遍历来处理。

40亿个数需要约500MB的空间，如果只有10MB的空间，至少需要50个块才可以。一般划分块都使用2的幂次方的整数倍，此处划分为64个块是合理的。

首先将 $0-2^{32}$ 这个范围的数平均分成64个区间，每个区间是67 108 864个数，因为一共只有40亿个数，所以在统计每一个区间上的数有多少时，肯定会有至少一个区间上的计数小于67 108 864。利用这一点可以找出其中一个没出现过的数。具体过程如下：

第一次遍历：先申请长度位64的整型数组countArr[0, ..., 63]，countArr[i]用来统计区间i上的数有多少。遍历40亿个数，跟去当前数是多少来决定哪一个区间上的计数增加。比如，如果当前数为2 567 278 189，2 567 278 189 / 67 108 864 = 38 ，所以第38个区间上计数增加countArr[51]++。遍历完40亿个数之后，遍历countArr，必然会有某一个位置上的值（countArr[i]）小于67 108 864，表示第i区间上至少有一个数没出现过。

此时使用的内存是非常小的，是countArr的大小（64 * 4B）

假设找到第37区间上的计数小于67 108 864，那么对这40亿个数据进行第二次遍历：

1. 申请长度为67 108 864的位图（bit map），占用大约8MB的空间，记为bitArr[0, ... , 67108863]。
2. 遍历这40亿个数，此时的遍历只关注落在第37区间上的数，记为num(num满足 num / 67108864 = == 37)，其他区间的数全部忽略。
3. 如果步骤2的num在第37区间上，将bitArr[num - 67108864 * 37]的值设置为1，也就是只做第37区间上的数的bitArr映射。
4. 遍历完40亿个数之后，在bitArr上必然存在没被设置成1的位置，假设第i个位置上的值没被设置成1，那么67108864 * 37 + i这个数就是一个没出现过的数

步骤小结：

• 根据 10MB 的内存限制，确定统计区间的大小，就是第二次遍历时的 bitArr 大小。
• 利用区间计数的方式，找到那个计数不足的区间，这个区间上肯定有没出现的数。
• 对这个区间上的数做 bit map 映射，再遍历bit map，找到一个没出现的数即可。

1.3 如何确定分块的区间

上面的例子中，采用两次遍历，第一次将数据分成64块刚好解决问题，为什么不是128块，32块，16块或者其他块数呢？

这是主要为了保障第二次遍历时每个块都能放进这10MB的空间中。$2^{23}<10MB<2^{24}$，而 $2^{23}=8388608$ 大约是8MB，也就是说我们一次的分块大小只能为8MB左右。我们在第二次遍历时分成64块刚好满足要求，这是最少得分成64块，当然如果分成128块、256块也是可以的。