【算法分析与设计】算法概述

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数据结构+算法(+设计模式)=程序

一、学习要点

  理解算法的概念。
  掌握算法的计算复杂性概念。
  掌握算法复杂性的渐近性态的数学表述。
  了解NP类问题的基本概念。

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二、算法的定义

  顾名思义，计算（求解）的方法
  算法（Algorithm）：对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。
  算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
  程序设计=数据结构+算法（+设计模式）

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三、算法的性质

  算法是若干指令的有穷序列，满足性质：
  (1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。
  (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。
  (3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。
  (4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。

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四、程序(Program)

  程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
  程序可以不满足算法的性质。
  例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。
  操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。

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五、问题求解(Problem Solving)

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六、算法的描述

  自然语言或表格
  伪码方式
  C++语言
  Java语言
  C语言
  Python等其他语言

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七、算法分析的目的

  对算法所需要的两种计算机资源——时间和空间进行估算
  设计算法——设计出复杂性尽可能低的算法
  选择算法——在多种算法中选择其中复杂性最低者

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八、算法复杂性分析

  算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，
  需要时间资源的量称为时间复杂性，需要的空间资源的量称为空间复杂性。
  这个量应该只依赖于算法要解的问题的规模、算法的输入和算法本身的函数。
  如果分别用N、I和A表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法本身，而且用C表示复杂性，那么，应该有C=F(N,I,A)。
  一般把时间复杂性和空间复杂性分开，并分别用T和S来表示，则有： T=T(N,I)和S=S(N,I)（通常，让A隐含在复杂性函数名当中）

（一）算法时间复杂性分析

  最坏情况下的时间复杂性：

  最好情况下的时间复杂性：

  平均情况下的时间复杂性：

  其中DN是规模为N的合法输入的集合；I* 是DN中使T(N, I*)达到Tmax(N)的合法输入； 是中使T(N, I*)达到Tmin(N)的合法输入；而P(I)是在算法的应用中出现输入I的概率。

（二）算法渐近复杂性

  T(n) →∞ , 当 n→∞ ;
  (T(n) - t(n) )/ T(n) →0 ，当 n→∞;
  t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。
  在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶项留下的主项。它比T(n) 简单。

1、渐进上界记号-大O符号

  若存在两个正的常数c和n0，对于任意n≥n0，都有T(n)≤c×f(n)，则称T(n)=O(f(n))

2、渐进下界记号-大Ω符号

  若存在两个正的常数c和n0，对于任意n≥n0，都有T(n)≥c×g(n)，则称T(n)=Ω(g(n))

3、紧渐进界记号-Θ符号

  若存在三个正的常数c1、c2和n0，对于任意n≥n0都有c1×f(n)≥T(n)≥c2×f(n)，则称T(n)=Θ(f(n))

  例： T(n)＝5n2＋8n＋1
  当n≥1时，5n2＋8n＋1≤5n2＋8n＋n＝5n2＋9n≤5n2＋9n2≤14n2＝O(n2)
  当n≥1时，5n2＋8n＋1≥5n2＝Ω(n2)
  ∴ 当n≥1时，14n2≥5n2＋8n＋1≥5n2
  则：5n2＋8n＋1＝Θ(n2)
  定理：若T(n)=amnm +am-1nm-1 + … +a1n+a0（am>0），则有T(n)=O(nm)且T(n)=Ω(n m)，因此，有T(n)=Θ(n m)。

4、非紧上界记号o

  o(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0 >0使得对所有n≥n0有：0<f(n)<cg(n) }
  等价于 f(n) / g(n) →0 ，当 n→∞。

5、非紧下界记号ω

  ω(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0 >0使得对所有n> n0有：0 ≤ cg(n) < f(n) }
  等价于 f(n) / g(n) →∞ ，当 n→∞。

6、渐近分析记号在等式和不等式中的意义

  f(n)= Θ(g(n))的确切意义是：f(n) ∈ Θ(g(n))。
  一般情况下，等式和不等式中的渐近记号Θ(g(n))表示Θ(g(n))中的某个函数。
  例如：2n2 + 3n + 1 = 2n2 + Θ(n) 表示
   2n2 +3n +1=2n2 + f(n)，其中f(n) 是Θ(n)中某个函数。
  等式和不等式中渐近记号O,o, Ω和ω的意义是类似的。

7、渐近分析中函数比较

  f(n)= O(g(n)) ≈ a ≤ b;
  f(n)= Ω(g(n)) ≈ a ≥ b;
  f(n)= Θ(g(n)) ≈ a = b;
  f(n)= o(g(n)) ≈ a < b;
  f(n)= ω(g(n)) ≈ a > b.

8、渐近分析记号的若干性质

（1）传递性

  f(n)= Θ(g(n))， g(n)= Θ(h(n)) → f(n)= Θ(h(n))；
  f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) → f(n)= O (h(n))；
  f(n)= Ω(g(n))， g(n)= Ω (h(n)) → f(n)= Ω(h(n))；
  f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) → f(n)= o(h(n))；
  f(n)= ω(g(n))， g(n)= ω(h(n)) → f(n)= ω(h(n))；

（2）反身性

  f(n)= Θ(f(n))；
  f(n)= O(f(n))；
  f(n)= ω(f(n)).

（3）对称性

  f(n)= Θ(g(n)) ⇔ g(n)= Θ (f(n)) .

（4）互对称性

  f(n)= O(g(n)) ⇔ g(n)= Ω (f(n)) ；
  f(n)= o(g(n)) ⇔ g(n)= ω (f(n)) ；

（5）算术运算

  O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) ；
  O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)+g(n)) ；
  O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n)*g(n)) ；
  O(cf(n)) = O(f(n)) ；
  g(n)= O(f(n)) → O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)) 。

  规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明：
  对于任意f1(n) ∈ O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对所有n≥ n1，有f1(n) ≤ c1f(n) 。
  类似地，对于任意g1(n) ∈ O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有n≥ n2，有g1(n) ≤ c2g(n) 。
  令c3=max{c1, c2}， n3 =max{n1, n2}，h(n)= max{f(n),g(n)} 。
  则对所有的 n ≥ n3，有
  f1(n) +g1(n) ≤ c1f(n) + c2g(n)
  ≤ c3f(n) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n))
  ≤ c32 max{f(n),g(n)}
  = 2c3h(n) = O(max{f(n),g(n)}) .

9、算法渐近复杂性分析中常用函数

（1）单调函数

  单调递增：m ≤ n → f(m) ≤ f(n) ;
  单调递减：m ≥ n → f(m) ≥ f(n);
  严格单调递增：m < n → f(m) < f(n);
  严格单调递减：m > n → f(m) > f(n).

（2）取整函数

  ⌊ x ⌋ ：不大于x的最大整数；
  ⌈ x ⌉ ：不小于x的最小整数。

取整函数的若干性质

   x-1 < ⌊ x ⌋ ≤ x ≤ ⌈ x ⌉ < x+1；
   ⌊ n/2 ⌋ + ⌈ n/2 ⌉ = 整数n;
   对于n ≥ 0，a,b>0，有：
   ⌈ ⌈ n/a ⌉ /b ⌉ = ⌈ n/ab ⌉ ;
   ⌊ ⌊ n/a ⌋ /b ⌋ = ⌊ n/ab ⌋ ;
   ⌈ a/b ⌉ ≤ (a+(b-1))/b;
   ⌊ a/b ⌋ ≥ (a-(b-1))/b;
   f(x)= ⌊ x ⌋ , g(x)= ⌈ x ⌉ 为单调递增函数。

（3）多项式函数

   p(n)= a0+a1n+a2n2+…+adnd； ad>0;
   p(n) = Θ(nd);
   f(n) = O(nk) ⇔ f(n)多项式有界；
   f(n) = O(1) ⇔ f(n) ≤ c;
   k ≥ d → p(n) = O(nk) ;
   k ≤ d → p(n) = Ω(nk) ;
   k > d → p(n) = o(nk) ;
   k < d → p(n) = ω(nk) .

（4）指数函数

  对于正整数m,n和实数a>0:
  a0=1;
  a1=a ;
  a-1=1/a ;
  (am)n = amn ;
  (am)n = (an)m ;
  aman = am+n ;
  a>1 → an为单调递增函数;
  a>1 →

→ nb = o(an)

（5）对数函数

   log n = log2n;
   lg n = log10n;
   ln n = logen;
   logkn = (log n)k;
   log log n = log(log n);
   for a>0,b>0,c>0

（6）阶乘函数

  Stirling’s approximation

10、算法分析中常见的复杂性函数

（1）小规模数据

（2）中等规模数据

（3）算法分析方法

例：顺序搜索算法

template<class Type>
int seqSearch(Type *a, int n, Type k)
{for(int i=0;i<n;i++)if (a[i]==k) return i;return -1;
}

  （1）Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n }=O(n)
  （2）Tmin(n) = min { T(I) | size(I)=n }=O(1)
  （3）在平均情况下，假设：
   (a) 搜索成功的概率为p ( 0 ≤ p ≤ 1 )；
   (b) 在数组的每个位置i ( 0 ≤ i < n )搜索成功的概率相同，均为 p/n。

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九、算法分析的基本法则

1、非递归算法：

（1）for / while 循环

  循环体内计算时间*循环次数；

（2）嵌套循环

  循环体内计算时间*所有循环次数；

（3）顺序语句

  各语句计算时间相加；

（4）if-else语句

  if语句计算时间和else语句计算时间的较大者。

2、最优算法

  问题的计算时间下界为Ω(f(n))，则计算时间复杂性为O(f(n))的算法是最优算法。
例如，排序问题的计算时间下界为Ω(nlogn)，计算时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。
堆排序算法是最优算法。