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递归专题训练详解（回溯，剪枝，深度优先）

news 2025/9/14 7:41:09

1.汉诺塔问题

在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

//确定子问题处理方式是相同的
//确定递归函数的函数头传参
//确定函数体也就子问题的处理方式
//判断函数出口class Solution {
public:void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {int n=A.size();dfs(A,B,C,n);}void dfs(vector<int>& A,vector<int>&B ,vector<int>& C,int n){if(n==1){C.push_back(A.back());//这里一定是要A.back(),可以画一下递归展开图A.pop_back();return;}//函数出口dfs(A,C,B,n-1);//不关心如何递归下去的，认为该函数一定能够帮我做到把a上的n-1数据借助c挪动b上C.push_back(A.back());//这里一定是要A.back(),可以画一下递归展开图A.pop_back();dfs(B,A,C,n-1);//同样认为该函数一定能把b上残留的n-1个数据借助a放到c上面}
};

2.合并升序链表

将两个升序链表合并为一个新的升序链表并返回。新链表是通过拼接给定的两个链表的所有节点组成的。

/*** Definition for singly-linked list.* struct ListNode {*     int val;*     ListNode *next;*     ListNode() : val(0), next(nullptr) {}*     ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}*     ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}* };*/
class Solution {
public:ListNode* mergeTwoLists(ListNode* list1, ListNode* list2) {ListNode* newHead=merge(list1,list2);return newHead;}ListNode* merge(ListNode* l1,ListNode* l2){if(l1==nullptr) return l2;if(l2==nullptr) return l1;if(l1->val<l2->val){l1->next=merge(l1->next,l2);return l1;//返回拼好的头节点}else{l2->next=merge(l2->next,l1);return l2;}}
};

3. 反转链表

/*** Definition for singly-linked list.* struct ListNode {*     int val;*     ListNode *next;*     ListNode() : val(0), next(nullptr) {}*     ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}*     ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}* };*/
class Solution {
public:ListNode* reverseList(ListNode* head) {if(head==nullptr||head->next==nullptr)return head;ListNode* newhead=reverseList(head->next);//认为一定可以返回一个已经逆序的子链表head->next->next=head;//让已经逆序的子序列的头节点指向子序列的上一个头节点head->next=nullptr;return newhead;//这里newhead一直是没有移动过的，一直都是新的链表的头结点。}
};

4. 两两交换链表中的节点

/*** Definition for singly-linked list.* struct ListNode {*     int val;*     ListNode *next;*     ListNode() : val(0), next(nullptr) {}*     ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}*     ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}* };*/
class Solution {
public:ListNode* swapPairs(ListNode* head) {if(head==nullptr||head->next==nullptr){return head;}ListNode* new_head=head->next;ListNode* tmp=head->next->next;//小心中途修改的问题head->next->next=head;head->next=swapPairs(tmp);return new_head;}
};

5. Pow（x,n）

-100.0 < x < 100.0
-2^31 <= n <= 2^31-1
-10^4 <= x^n <= 10^4

本题需要注意负数的情况和超int取值范围的情况

这样会语法报错。。。

class Solution {
public:double myPow(double x, int n) {return n > 0 ?pow(x,n) : 1.0/pow(x,-(long long)n );}double pow(double x,long long n){if(n==0) return 1.0;double ret=pow(x,n/2);if(n%2==0){return ret*ret;}else{return ret*ret*x;}}
};

6. 布尔逻辑二叉树

class Solution {
public:bool evaluateTree(TreeNode* root) {if(root->left==nullptr){if(root->val==1)return true; else return false;}bool left=evaluateTree(root->left);bool right=evaluateTree(root->right);if(root->val==2){return left || right;}else {return left && right;}}
};

7.根到叶子之和

给你一个二叉树的根节点 root ，树中每个节点都存放有一个 0 到 9 之间的数字。

每条从根节点到叶节点的路径都代表一个数字：

例如，从根节点到叶节点的路径 1 -> 2 -> 3 表示数字 123 。

计算从根节点到叶节点生成的 所有数字之和 。

叶节点 是指没有子节点的节点。

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*///函数头设计，我们认为传入一个节点，那么就会算出此节点到所有节点的数字之和
//函数体：从上一层获得此前的所有数字组合再拼上此层，所以需要多设计一个参数来记录
//函数出口：当没有孩子的时候
class Solution {
public:int sumNumbers(TreeNode* root) {return dfs(root,0);}int dfs(TreeNode* root,int presum){// if(root==nullptr)// {//     return presum;题目给的一定是有一个节点// }presum=presum*10+root->val;std::cout<<presum<<std::endl;int ret=0;//因为函数的功能是用来计算之和并返回，所以不能直接presum传入，此处presum只是用于记录已经遍历了的数字。if(root->left==nullptr&&root->right==nullptr){return presum;}if(root->left) ret+=dfs(root->left,presum);if(root->right) ret+= dfs(root->right,presum);return ret;}
};

8.二叉树剪枝

给定一个二叉树 根节点 root ，树的每个节点的值要么是 0，要么是 1。请剪除该二叉树中所有节点的值为 0 的子树。

节点 node 的子树为 node 本身，以及所有 node 的后代。

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
//函数体设计
//返回一个已经剪枝的根节点//函数出口：当自己是空的时候返回空，处理动作一致class Solution {
public:TreeNode* pruneTree(TreeNode* root) {// if(root==nullptr)// {//     return nullptr;// }if(root->left) root->left=pruneTree(root->left);if(root->right) root->right=pruneTree(root->right);if(root->left==nullptr&&root->right==nullptr&&root->val==0)//走到头才算是树枝当树枝被剪完了自己也就是树枝的。{//delete root;root=nullptr;// return nullptr;}return root;}
};

9.验证二叉搜索树（注意剪枝）

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:
long long prev_val=LONG_MIN;bool isValidBST(TreeNode* root) {if(root==nullptr){return true;}bool left=isValidBST(root->left);if(left==false) return false;//剪枝bool cur=false;if(root->val>prev_val){prev_val=root->val;cur=true;}if(right==false) return false;//剪枝bool right=isValidBST(root->right);//cout<< root->val;return left&&right&&cur;}
};

10. 二叉搜索树第k小的元素（二叉搜索树中序遍历是一个有序序列）

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:int count;int ret;int kthSmallest(TreeNode* root, int k) {count=k;return dfs(root);}int dfs(TreeNode* root){if(root==nullptr){return ret;}ret=dfs(root->left);if(count==0){return ret;}ret=root->val;count--;ret=dfs(root->right);return ret;}
};

11. 二叉树的所有路径

12. 全排列

1.此处path设置为全局变量更好，虽然回溯时需要修改，但是节省一些空间并且效率更高。：

class Solution {
public:vector<vector<int>> ret;vector<bool> check;//用于记录哪些数字使用过了而达到剪枝的效果，回溯的时候需要把使用过的数字还回去vector<int> path;//这里的path最好使用全局变量vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {check.resize(nums.size());dfs(nums,path);return ret;}void dfs(vector<int>& nums,vector<int> path){if(nums.size()==path.size()){ret.push_back(path);return ;}for(int i=0;i<nums.size();i++){if(check[i]==true){continue;}check[i]=true;vector<int> tmp=path;tmp.push_back(nums[i]);dfs(nums,tmp);check[i]=false;}}
};

2. 修改后：

class Solution {
public:vector<vector<int>> ret;vector<bool> check;//用于记录哪些数字使用过了而达到剪枝的效果，回溯的时候需要把使用过的数字还回去vector<int> path;//这里的path最好使用全局变量vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {check.resize(nums.size());dfs(nums,path);return ret;}void dfs(vector<int>& nums,vector<int>& path){if(nums.size()==path.size()){ret.push_back(path);return ;}for(int i=0;i<nums.size();i++){if(check[i]==true){continue;}check[i]=true;// vector<int> tmp=path;// tmp.push_back(nums[i]);path.push_back(nums[i]);dfs(nums,path);check[i]=false;//向下递归完后恢复现场path.pop_back();}}
};

13. 二叉树的所有路径

给你一个二叉树的根节点 root ，按 任意顺序 ，返回所有从根节点到叶子节点的路径。

叶子节点 是指没有子节点的节点。

13. 二叉树的所有路径

给你一个二叉树的根节点 root ，按 任意顺序 ，返回所有从根节点到叶子节点的路径。

叶子节点 是指没有子节点的节点。

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}*     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}* };*/
class Solution {
public:vector<string> ret;string path;int i=0;vector<string> binaryTreePaths(TreeNode* root) {if(root==nullptr) return ret;//假设会传入空，最好不要写在dfs函数里面dfs(root,path);return ret;}void dfs(TreeNode* root,string path){path+=to_string(root->val);if(root->left==nullptr&&root->right==nullptr){ret.push_back(path);return;}path+="->";if(root->left) dfs(root->left,path);if(root->right) dfs(root->right,path);//剪枝，并且达到了不会传入空的效果}
};