矩阵求导数

$$矩阵A=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -1& 3\end{array}\right|,计算f(x)=\frac{||Ax|{|}_2}{||x|{|}_2}的最大值。$$

解：

根据导数定义和性质，极值处导数为0。首先求出矩阵的导数，置为0后求解。

首先$$\begin{gathered} f(x)=\frac{\left|\begin{array}{c}{x}_1{x}_2{x}_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\\ 1& 3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& -1& 3\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right|}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}= \\ \frac{\left|\begin{array}{c}{x}_1{x}_2{x}_3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}5& 0& 7\\ 0& 5& -1\\ 7& -1& 10\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right|}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \end{gathered}$$

考虑矩阵$x^T{A}^{T}Ax$求导:

$$\begin{gathered} (x+\Delta x{)}^T{A}^{T}A(x+\Delta x)=(x^T+\Delta x^T)A^{T}A(x+\Delta x)= \\ (x^T{A}^{T}A+\Delta x^T{A}^{T}A)(x+\Delta x)= \\ {x}^T{A}^{T}Ax+x^T{A}^{T}A\Delta x+\Delta x^T{A}^{T}Ax+\Delta x^T{A}^{T}A\Delta x \end{gathered}$$

$注意：上式中每一项都是一个标量，而不是向量。$

$$\begin{gathered} \frac{||(x+\Delta x{)}^T{A}^{T}A(x+\Delta x)-x^T{A}^{T}Ax||}{||\Delta x||}= \\ \frac{||x^T{A}^{T}A\Delta x+\Delta x^T{A}^{T}Ax+\Delta x^T{A}^{T}A\Delta x||}{||\Delta x||}=2A^{T}Ax \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 注意：上式取2A^{T}Ax而不是x^T{A}^{T}A的原因是， \\ \Delta x一般是列向量，需要放在后面，此时需要将矩阵导数放在前面，并转置。 \end{gathered}$$

现在将导数置为0并求解方程组：

$$2A^{T}Ax=0$$ 得：

$此方法对吗?$