EM@坐标@函数@图象的对称和翻折变换
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abstract
- 坐标@函数@图象的对称和翻折变换
翻折变换
关于坐标轴翻折
- 此处我们通过研究图象上的点来间接图象变换,设图象的方程为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x), f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D f D_f Df
f ( − x ) , f ( x ) f(-x),f(x) f(−x),f(x)
- 函数 f ( − x ) f(-x) f(−x)可以看作是函数 u = − x u=-x u=−x和 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)复合而成的函数
- x ∈ D u = R x\in{D_u}=\mathbb{R} x∈Du=R
- 设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D f {D_f} Df,对于 g ( x ) = f ( − x ) g(x)=f(-x) g(x)=f(−x), − x ∈ D f -x\in{D_f} −x∈Df,即 x ∈ − D f x\in{-D_f} x∈−Df或作 D g = − D f D_g=-D_f Dg=−Df(表示 f , g f,g f,g的定义域关于原点对称)
- 若 a ∈ D f a\in{D_f} a∈Df,在 x = a x=a x=a处,可以取函数 f ( x ) f(x) f(x)上的点 A ( a , f ( a ) ) A(a,f(a)) A(a,f(a));
- − a ∈ D g -a\in{D_g} −a∈Dg, g ( x ) g(x) g(x)上一定存在点 B ( − a , f ( a ) ) B(-a,f(a)) B(−a,f(a));
- 显然 A , B A,B A,B关于 y y y轴对称,对定义域内所有 x x x对应的点 ( x , f ( x ) ) (x,f(x)) (x,f(x))和 ( x , f ( − x ) ) (x,f(-x)) (x,f(−x))关于y轴对称
- 从而 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)关于 y y y轴对称,即 f ( x ) , f ( − x ) f(x),f(-x) f(x),f(−x)关于 y y y轴对称
- 例如:
- f ( x ) = sin ( x ) f(x)=\sin(x) f(x)=sin(x),则 f ( − x ) = sin ( − x ) = − sin x f(-x)=\sin(-x)=-\sin{x} f(−x)=sin(−x)=−sinx和 f ( x ) = sin ( x ) f(x)=\sin(x) f(x)=sin(x)关于 y y y轴对称
- 对于 f ( x ) = cos x f(x)=\cos{x} f(x)=cosx, f ( − x ) = cos ( − x ) f(-x)=\cos{(-x)} f(−x)=cos(−x)= cos x \cos{x} cosx, f ( − x ) , f ( x ) f(-x),f(x) f(−x),f(x)关于 y y y轴对称,即函数 cos x \cos{x} cosx自身关于 y y y轴对称
− f ( x ) , f ( x ) -f(x),f(x) −f(x),f(x)
- 和上面的分析类似,取点分析:若函数 f ( x ) f(x) f(x),上存在 A ( a , f ( a ) ) A(a,f(a)) A(a,f(a)),则函数 − f ( x ) -f(x) −f(x)上一定相应地存在 B ( a , − f ( a ) ) B(a,-f(a)) B(a,−f(a))
- 显然两点关于 x x x轴对称,而 x x x是定义域内的任意点,故而 − f ( x ) -f(x) −f(x)和 f ( x ) f(x) f(x)关于 x x x轴对称
偶函数@奇函数
- 偶函数:若函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域关于原点对称且满足 f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(−x)=f(x),则函数 f ( x ) f(x) f(x)是偶函数,显然 f ( x ) f(x) f(x)关于 y y y轴对称
- 若 f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(−x)=f(x),那么 f ( − x ) , f ( x ) f(-x),f(x) f(−x),f(x)关于 y y y轴对称就变成了 f ( x ) , f ( x ) f(x),f(x) f(x),f(x)关于 y y y轴对称( f ( x ) f(x) f(x)和 f ( − x ) f(-x) f(−x)重合),即 f ( x ) f(x) f(x)关于 y y y轴对称
- 奇函数:若函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域关于原点对称且满足 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x),则函数 f ( x ) f(x) f(x)是奇函数,显然 f ( x ) f(x) f(x)关于坐标原点对称
- 可以 f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的图形理解为两部分: f ( x ) f(x) f(x)关于 y y y轴对称的图形和 f ( x ) f(x) f(x)关于 x x x轴对称的图形如果重合,那么 f ( x ) f(x) f(x)就是关于原点对称的奇函数
小结
- The graph of f ( − x ) f(−x) f(−x) is the mirror image of the graph of f ( x ) f(x) f(x) with respect to the vertical axis.
- The graph of − f ( x ) −f(x) −f(x) is the mirror image of the graph of f ( x ) f(x) f(x) with respect to the horizontal axis.
- A function is called even if f ( − x ) = f ( x ) f(−x)=f(x) f(−x)=f(x) for all x x x (For example, cos ( x ) \cos(x) cos(x)).
- A function is called odd if f ( − x ) = − f ( x ) f(−x)=−f(x) f(−x)=−f(x) for all x x x (For example, sin ( x ) \sin(x) sin(x)).
其他翻折变换
关于 y = ± x y=\pm x y=±x对称的直角坐标
- A ( x , y ) A(x,y) A(x,y)关于 y = x y=x y=x的对称点坐标 B ( y , x ) B(y,x) B(y,x)
- A ( x , y ) A(x,y) A(x,y)关于 y − x y-x y−x的对称点坐标 B ( − y , − x ) B(-y,-x) B(−y,−x)
关于 x = u 对称 关于x=u对称 关于x=u对称的函数
-
若 f ( x ) f(x) f(x)关于 x = u x=u x=u对称:
- f ( x ) f(x) f(x)的定义域关于 x = u x=u x=u对称
-
若 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2关于 u u u对称,则 x 1 + x 2 = 2 u x_1+x_2=2u x1+x2=2u,反之亦然
- 设 A ( a , f ( a ) ) A(a,f(a)) A(a,f(a))是 f ( x ) f(x) f(x)上的点,则 A A A关于对称轴 x = u x=u x=u的对称点 B ( 2 u − a , f ( a ) ) B(2u-a,f(a)) B(2u−a,f(a))也必然在 f ( x ) f(x) f(x)上
- 从而 f ( 2 u − a ) f(2u-a) f(2u−a)= f ( a ) f(a) f(a)
- 由于 a a a是定义域内的任意点,所以 f ( 2 u − x ) = f ( x ) f(2u-x)=f(x) f(2u−x)=f(x)
- 即,满足:
- 定义域关于 x = u x=u x=u对称
- f ( 2 u − x ) f(2u-x) f(2u−x)= f ( x ) f(x) f(x)
- 的函数是关于 x = u x=u x=u对称的函数
-
例如 y ( x ) = ( x − 1 ) 2 y(x)=(x-1)^2 y(x)=(x−1)2; y ( 2 − x ) = ( ( 2 − x ) − 1 ) 2 = ( 1 − x ) 2 = ( x − 1 ) 2 y(2-x)=((2-x)-1)^2=(1-x)^2=(x-1)^2 y(2−x)=((2−x)−1)2=(1−x)2=(x−1)2,即 y ( x ) = y ( 2 − x ) y(x)=y(2-x) y(x)=y(2−x),对称轴为 u = 1 2 ⋅ 2 = 1 u=\frac{1}{2}\cdot2=1 u=21⋅2=1
- 特别的,偶函数关于 x = 0 x=0 x=0对称, f ( x ) = f ( − x ) f(x)=f(-x) f(x)=f(−x),对称轴 x = u = 0 x=u=0 x=u=0,因为 x + ( − x ) = 2 u = 0 ; u = 0 x+(-x)=2u=0;u=0 x+(−x)=2u=0;u=0
关于 y = v y=v y=v对称的两个函数
- 若 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) f_1(x),f_2(x) f1(x),f2(x)在定义域内满足 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) = 2 v f_1(x)+f_2(x)=2v f1(x)+f2(x)=2v,则 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) f_1(x),f_2(x) f1(x),f2(x)关于 y = v y=v y=v对称
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