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课题学习(三)----倾角和方位角的动态测量方法（基于陀螺仪的测量系统）

news 2026/2/10 16:28:40

一、内容介绍

该测量系统基于三轴加速度和三轴陀螺仪，安装在钻柱内部，随钻柱一起旋转，形成捷联惯性导航系统，安装如下图所示：
在这里插入图片描述
假设三轴加速度和陀螺仪的输出为: $f^b=\begin{bmatrix}f_{x} & f_{y} &f_{z} \end{bmatrix}^T$ $w^b=\begin{bmatrix}w_{x} & w_{y} &w_{z} \end{bmatrix}^T$
使用这六轴的输出可以非常有效的求解姿态，应用惯性导航的求解算法，可以实现钻孔时的连续测量。加速度计和陀螺仪可以在坐标系中提供线加速度和角速度。但是，如果要求解钻具的位姿，则需要将该坐标系转换为另一个坐标系。
Xe、Ye、Ze三个轴代表地球坐标系。导航坐标系用于计算载体的位置、速度和姿态，因为导航坐标系沿当地的北、东、垂直方向，如下图中的“N, E, UP”，其中λ为经度角，φ为纬度角。在载体坐标系下，利用INS力学方程可得到井斜、井向和工具面角。在这里插入图片描述
将b系统中测得的加速度和角速度值通过变换矩阵Rn b转换为n系统，即可求解井底工具的空间位置和姿态[28]。定义底部的经度为λ，纬度为φ，海拔为h，则其位置可表示为: $r^n=\begin{bmatrix}φ & λ &h \end{bmatrix}^T$
定义n系统的速度分量，向北速度为Vn，向东速度为Ve，垂直速度为Vu。然后定义n系统的速度为: $r^n=\begin{bmatrix}V^e & V^n &V^u\end{bmatrix}^T$
速度分量可以表示为位置分量对时间的导数:
在这里插入图片描述
上式中，M为子午线的曲率半径，N为地球椭圆的曲率半径。
在载体坐标系下，加速度计 $f^b=\begin{bmatrix}f_{x} & f_{y} &f_{z}\end{bmatrix}^T$ 通过变换矩阵 $R^n_{b}$ 转换到地理坐标系的测量值为:

n坐标系中的加速度分量 $f^n$ 可以对速度分量 $v^n$ 积分。但由于地球本身的存在，会影响求解过程。地球自转速度为 $w^e=15deg/hr$ ，用n坐标系表示的角速度矢量如下式所示:
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地理坐标系的变化取决于导航坐标系中北方和垂直方向的定义。北方方向通常指向子午线方向，垂直方向指向地球表面，如下图所示：在这里插入图片描述
在导航坐标系中，角速度矢量可表示为:

地球引力也影响IMU的加速度测量。我们可以用重力模型来修正。地球重力场可以表示为:
地球引力场在n系列中可以表示为: $g^n=\begin{bmatrix}0&0&-g\end{bmatrix}$ .考虑到地球因素的影响，速度分量Vn的变化率可以表示为: 在这里插入图片描述
其中：

变换矩阵 $R^n_{b}$ 可由以下微分方程得到:

其中 $Ω^b_{ib}$ 为陀螺仪测得的角速度的反对称矩阵，角速度矢量 $Ω^b_{ib}$ 可表示为:

陀螺仪测量底部钻具的角速度，同时也测量地球自转的角速度和导航坐标系的方向。因此，需要从 $Ω^b_{ib}$ 中减去角速度 $Ω^b_{in}$ ，以消除这两个因素的影响。角速度矢量 $Ω^b_{in}$ 包含两部分，第一部分是地球自转速度 $Ω^b_{ie}$ 和导航坐标系方向变化速度 $Ω^b_{en}$ ，如下图所示: 在这里插入图片描述
速度矩阵的反对称矩阵可以表示为:
最后得到变换矩阵如下:
定义井斜角为θ，方位角为ψ，工具面为φ，变换矩阵 $R^n_{b}$ 可表示为:
根据前面的假设，三轴加速度计的输出信号为: $f^b=\begin{bmatrix}f_{x} & f_{y} &f_{z} \end{bmatrix}^T$ 三轴陀螺仪的输出信号为: $w^b=\begin{bmatrix}w_{x} & w_{y} &w_{z} \end{bmatrix}^T$ 从测量的角速度可以计算出角度变化量:
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同样，由加速度的测量值可以计算出线速度:
考虑到地球自转和导航坐标系方向变化的影响，在时刻tk时，角度的增加可表示为:
然后，
综上所述，基于地理坐标系的捷联惯性导航系统的力学方程如下:
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