课题学习(三)----倾角和方位角的动态测量方法（基于陀螺仪的测量系统）

一、内容介绍

  该测量系统基于三轴加速度和三轴陀螺仪，安装在钻柱内部，随钻柱一起旋转，形成捷联惯性导航系统，安装如下图所示：

  假设三轴加速度和陀螺仪的输出为:$$f^b={\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& f_y& f_z\end{array}\right]}^T$$ $$w^b={\left[\begin{array}{ccc}{w}_x& w_y& w_z\end{array}\right]}^T$$
  使用这六轴的输出可以非常有效的求解姿态，应用惯性导航的求解算法，可以实现钻孔时的连续测量。加速度计和陀螺仪可以在坐标系中提供线加速度和角速度。但是，如果要求解钻具的位姿，则需要将该坐标系转换为另一个坐标系。
  Xe、Ye、Ze三个轴代表地球坐标系。导航坐标系用于计算载体的位置、速度和姿态，因为导航坐标系沿当地的北、东、垂直方向，如下图中的“N, E, UP”，其中λ为经度角，φ为纬度角。在载体坐标系下，利用INS力学方程可得到井斜、井向和工具面角。
  将b系统中测得的加速度和角速度值通过变换矩阵Rn b转换为n系统，即可求解井底工具的空间位置和姿态[28]。定义底部的经度为λ，纬度为φ，海拔为h，则其位置可表示为:$$r^n={\left[\begin{array}{ccc}\phi & \lambda & h\end{array}\right]}^T$$
  定义n系统的速度分量，向北速度为Vn，向东速度为Ve，垂直速度为Vu。然后定义n系统的速度为:$$r^n={\left[\begin{array}{ccc}{V}^e& V^n& V^u\end{array}\right]}^T$$
  速度分量可以表示为位置分量对时间的导数:

  上式中，M为子午线的曲率半径，N为地球椭圆的曲率半径。
  在载体坐标系下，加速度计$f^b={\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& f_y& f_z\end{array}\right]}^T$ 通过变换矩阵$R_b^n$转换到地理坐标系的测量值为:

  n坐标系中的加速度分量$f^n$可以对速度分量$v^n$积分。但由于地球本身的存在，会影响求解过程。地球自转速度为$w^e=15deg/hr$，用n坐标系表示的角速度矢量如下式所示:

  地理坐标系的变化取决于导航坐标系中北方和垂直方向的定义。北方方向通常指向子午线方向，垂直方向指向地球表面，如下图所示：
在导航坐标系中，角速度矢量可表示为:

  地球引力也影响IMU的加速度测量。我们可以用重力模型来修正。地球重力场可以表示为:
  地球引力场在n系列中可以表示为:$g^n=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -g\end{array}\right]$.考虑到地球因素的影响，速度分量Vn的变化率可以表示为:
其中：

  变换矩阵$R_b^n$可由以下微分方程得到:

其中${\Omega }_{ib}^b$为陀螺仪测得的角速度的反对称矩阵，角速度矢量${\Omega }_{ib}^b$可表示为:

  陀螺仪测量底部钻具的角速度，同时也测量地球自转的角速度和导航坐标系的方向。因此，需要从${\Omega }_{ib}^b$中减去角速度${\Omega }_{in}^b$，以消除这两个因素的影响。角速度矢量${\Omega }_{in}^b$包含两部分，第一部分是地球自转速度${\Omega }_{ie}^b$和导航坐标系方向变化速度${\Omega }_{en}^b$，如下图所示:
  速度矩阵的反对称矩阵可以表示为:
  最后得到变换矩阵如下:
  定义井斜角为θ，方位角为ψ，工具面为φ，变换矩阵$R_b^n$可表示为:
  根据前面的假设，三轴加速度计的输出信号为:$$f^b={\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& f_y& f_z\end{array}\right]}^T$$   三轴陀螺仪的输出信号为:$$w^b={\left[\begin{array}{ccc}{w}_x& w_y& w_z\end{array}\right]}^T$$  从测量的角速度可以计算出角度变化量:

  同样，由加速度的测量值可以计算出线速度:
  考虑到地球自转和导航坐标系方向变化的影响，在时刻tk时，角度的增加可表示为:
  然后，
  综上所述，基于地理坐标系的捷联惯性导航系统的力学方程如下:

  上式的解可以用欧拉角法、方向余弦法或四元数法求解。通过在载体轴上安装三轴加速度计和三轴陀螺仪，可以通过测量值获得载体的姿态、速度和位置等信息。

二、往期回顾

课题学习(一)----静态测量
课题学习(二)----倾角和方位角的动态测量方法（基于磁场的测量系统）