随机误差理论与测量

第1节 随机误差的性质和特点

随机误差的基本特点：对称性、单峰性、抵偿性、有界性。
随机误差的分布特性：古典误差理论认为：随机误差服从正态分布。其理论依据：中心极限定理。
正态分布及特性：


查分布表时用半边值

第2节 随机误差的数字特性

随机变量的数字特征：
数学期望体现位置特征，方差体现分散性指标。
算术平均值（数学期望的估计）
可以用算数平均值作为真值的估计。
解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题。

Dx为方差。

这里的$\delta$ 是误差（测量值-真值），而真值是无法得到的，所以要进行标准差的估计方法。

标准差的估计

贝赛尔公式

注意这里的$\sigma$是带了帽子的。戴帽子的$\sigma$是不带的无偏估计。
Vi表示的是残差（测量值-平均值），所以是可以得到的。
贝赛尔公式估算条件：测量次数n比较大。
标准偏差的其他估算方法
1）别捷尔斯法（Peters）

2）极差法

dn可查表得到，与测量次数有关（测量n次就查dn）：测量的次数越多，ωn大的概率高，故dn应大。极差法可简单迅速算出标准差，n<10时适用。
3) 最大误差法

四种估计方法的优缺点对比
① 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；
② 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍；
③ 用极差法计算σ，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n<10时可用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式；
④ 用最大误差法计算σ更为简捷，容易掌握，当n<10时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验(n=1)只能应用最大误差法。

第3节 单次测量结果的精度指标

正态分布的概率积分——误差函数
标准差σ是表征随机误差很重要的一个特征量，可用于描述测量列中各个测得值的误差。
σs可作为表征测量列中每一个测得值误差的参数。
单次测量是总体中的一次抽样，目前各国多采用以下精度指标：


在一个测量列中，是以算术平均值作为测量结果：

因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准！

第4节 多次测量结果的精度指标

算数平均值的分布特性与标准差

用$\overline{x}$ 作为测量结果比用单次测量结果精度提高了$\sqrt{n}$倍！

算数平均值的置信度

测量次数多时，查正态分布表


测量次数n较少时——t分布求解

当自由度趋向于无穷大时，t分布就是标准的正态分布。实际上在测量次数足够大（n>20）,可以近似用正态分布代替。

其中自由度V=n-1=4,a=0.05。
t分布在数理统计中称为小子样分布。在精密测量中，测量次数很少有超过20次的，因此，在理论上应按t分布来计算相应的误差限；只有在测量次数较多（n>20）的情况时，或其测量量不甚重要时，才可近似应用正态分布的理论来处理。

事实上，当n无限增大时，t分布曲线和正态分布曲线基本重合，即按两个分布理论来处理测量数据，所得的结果差异是极小的。

算数平均值的精度指标（常用的有4个)

第5节 非等精度测量

什么是非等精度测量
测量条件（人员、方法、测量次数、环境条件等）部分或者全部改变，导致测量的精度和可信赖程度不一样。这种测量称为非等精度测量。
客观上，由于条件限制，所有的测量都是非等精度测量。但是条件差别不大的测量，一般都当成等精度处理。
等精度测量特点：具有同一标准差$\sigma$。

非等精度测量的两种情况
（1）用不同的测量次数进行对比测量
（2）用不同精度的仪器进行对比测量：互比核对目的。

“权”的概念和加权平均
权与方差的关系
方差越大，测量结果越不可靠，权应该越小。
权与方差成反比！权表示相对可靠程度，是一个无量纲的数，允许给各组的权数同时增大或者减小若干倍，而比例关系不变。