蓄水池抽样算法

蓄水池抽样，也称水塘抽样，是随机抽样算法的一种。

基本抽样问题

有一批数据（假设为一个数组，可以逐个读取），要从中随机抽取一个数字，求抽得的数字下标。

常规的抽样方法是，先读取所有的数字，记录数字的总个数，记为n。然后产生一个0 ~ n - 1范围内的随机数即可，即随机抽取的数字下标index为：

其中，rand为随机数产生函数。

但是上述常规抽样方法，有一个局限性就是，必须读取完所有的数字之后才可以计算下标。

一方面，如果数据量很大，一次性读入所有的数据，需要很大的内存。另外一方面，很多流式数据，往往都是不断在读取数据，如果要读完所有的数据，还需要额外记录度过的数据。

那么，能不能边读数据边计算，并且度过的数据不要记录了呢？

蓄水池抽样基本算法

这里就要用到今天要讲的蓄水池抽样算法，用index记录最终得到随机数下标，该算法简述如下：

从前往后不断读取数字，读到第i（从0开始）个数字时，在[0, i]范围内产生一个随机数r，如果r = 0，那么index = i,否则index维持原来的的值，那么最终index就是产生的随机数的下标。

下面来证明这个算法的正确性，证明算法的正确性，即使要证明每个数字抽到的概率相等。假设数字的中个数为n，那么这些数字的下标为0 ~ n - 1，设抽到下标为i的数字的概率为P(i)，根据上面的描述，要抽到下标为i的数字，要满足的条件为：

• 在读到第i个数字时，[0, i]范围内产生的随机数为0，这样index = i

• 在读到第i个数字之后的数字时，不能再产生随机数0（否则index就为k了）

从上面的计算可以看到，每个数字抽到的概率为1/n，因此该抽样的方法是正确的。

很多人有一点疑惑，通过上面的方法，一定会抽到某个数字吗？

答案是肯定的，因为在读到第0个数字时，从[0,0]中产生一个随机数，肯定是0。因此，下标为0的梳子一开始肯定会被选中，如果后续没有其它数字选中的话，就是下标为0的数字了，从而保证一定有一个数字被选中。

蓄水池抽样算法的变式

假如并不是从所有的数字中抽取，而是从满足某些条件的数字中抽取。假如这些数字中有多个数字x，要从所有的数字x中抽出一个数字，求最后抽得的数字x的下标。

只需要将上面方法中的i换成x的计数就好：

从前往后不断读取数字，读到第k个数字时，若该数字为x，设为第i个x，在[0, i]范围内产生一个随机数r，如果r = 0，那么index = k,否则index维持原来的的值，那么最终index就是产生的随机数的下标。