金融数学方法：梯度下降法

1.算法介绍

  梯度下降法是一种常用的优化算法，其通过沿着梯度下降的方向迭代寻找局部极小值。如果沿着梯度上升的方向迭代，就可以找到极大值。
在梯度下降法中，我们首先需要选择一个初始点$x_0$作为起始位置，然后计算当前位置的梯度（即函数在该点的导数）。接着，我们根据梯度的反方向来更新当前位置，使得函数值逐渐减小，直到达到局部最小值或收敛。梯度下降法的更新公式为$$x_{n+1}=x_n-{\lambda }_n\nabla F(x_n)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，${\lambda }_n$是步长，$\nabla F$是函数的梯度。
  我们需要考虑一个问题，那就是步长${\lambda }_n$应该如何选取。如果步长太短，可能要迭代很多次，如果步长太长，可能会走过，错过极值点。我们可以先选择一个任意长度的步长，然后尝试着走，如果函数值下降了，则进行下一步迭代，如果函数值没有下降，那么就可以将步长取为现有的这一步，再次尝试，直到函数值下降为止，至于初始步长的选取，可以按照Barzilai-Borwein方法来定义
$${\lambda }_n=\frac{\left|{\left(x_n-x_{n-1}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\nabla F\left(x_n\right)-\nabla F\left(x_{n-1}\right)\right)\right|}{||\nabla F\left(x_n\right)-\nabla F\left(x_{n-1}\right)|{|}^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

2.算例分析

用梯度下降法求$F(x,y)=(x-1{)}^2+(y-1{)}^2$的极小值。
  首先求出函数F的梯度 $\nabla F(x,y)=(2(x-1),2(y-1))$，然后利用上面介绍的算法过程进行实现，以下是python实现代码。

def hanshu(x,y):return (x-1)*(x-1)+(y-1)*(y-1)
def daoshu(x,y):return [2*(x-1),2*(y-1)]
def calculate_lamb(x0,y0,d0,x1,y1,d1):f1=(x1-x0)*(d1[0]-d0[0])+(y1-y0)*(d1[1]-d1[0])f2=(d1[0]-d0[0])**2+(d1[1]-d0[1])**2return f1/f2
def grad_descent(x0,y0):f0=hanshu(x0,y0)d0=daoshu(x0,y0)i,lamb=0,0.01while i<1000:x1,y1=x0-lamb*d0[0],y0-lamb*d0[1]f1=hanshu(x1,y1)while f1>f0:lamb=lamb*0.5x1,y1=x0-lamb*d0[0],y0-lamb*d0[1]f1=hanshu(x1,y1)if (x1-x0)**2+(y1-y0)**2<0.000001:breakd1=daoshu(x1,y1)lamb=calculate_lamb(x0,y0,d0,x1,y1,d1)x0,y0,f0,d0=x1,y1,f1,d1i+=1return x1,y1,i   

  这里取初始值（10,10），代入算法中求得最优解为(1.000538330078125, 1.000538330078125)，这个值就已经很接近理论最小值（1,1）啦！
  需要注意的是，梯度下降法可能会陷入局部最小值而无法找到全局最小值，因此在实践中常常会根据需求使用其他优化算法。同时，通过调节迭代次数等超参数，可以对梯度下降法进行优化，以获得更好的结果。

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