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P1196 [NOI2002] 银河英雄传说带权并查集

news 2026/2/9 22:30:10

[NOI2002] 银河英雄传说

题目背景

公元 $5801$ 年，地球居民迁至金牛座 $α\alpha$ 第二行星，在那里发表银河联邦创立宣言，同年改元为宇宙历元年，并开始向银河系深处拓展。

宇宙历 $799$ 年，银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌。

题目描述

杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难免恣生骄气。在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成 $30000$ 列，每列依次编号为 $2,\ldots ,30000$ 。之后，他把自己的战舰也依次编号为 $\ldots , 30000$ ，让第 $i$ 号战舰处于第 $i$ 列，形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。合并指令为 M i j，含义为第 $i$ 号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第 $j$ 号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。

然而，老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。

在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令：C i j。该指令意思是，询问电脑，杨威利的第 $i$ 号战舰与第 $j$ 号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。

作为一个资深的高级程序设计员，你被要求编写程序分析杨威利的指令，以及回答莱因哈特的询问。

输入格式

第一行有一个整数 $T$ （ $\le T \le 5 \times 10^5$ ），表示总共有 $T$ 条指令。

以下有 $T$ 行，每行有一条指令。指令有两种格式：

M i j： $i$ 和 $j$ 是两个整数（ $\le i,j \le 30000$ ），表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特窃听到的杨威利发布的舰队调动指令，并且保证第 $i$ 号战舰与第 $j$ 号战舰不在同一列。
C i j： $i$ 和 $j$ 是两个整数（ $\le i,j \le 30000$ ），表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特发布的询问指令。

输出格式

依次对输入的每一条指令进行分析和处理：

如果是杨威利发布的舰队调动指令，则表示舰队排列发生了变化，你的程序要注意到这一点，但是不要输出任何信息。
如果是莱因哈特发布的询问指令，你的程序要输出一行，仅包含一个整数，表示在同一列上，第 $i$ 号战舰与第 $j$ 号战舰之间布置的战舰数目。如果第 $i$ 号战舰与第 $j$ 号战舰当前不在同一列上，则输出 $- 1$ 。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

-1
1

提示

战舰位置图：表格中阿拉伯数字表示战舰编号

带权并查集
我一开始的代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn=30000;int pre[maxn+5],d[maxn+5],lazy[maxn+5],num[maxn+5],ind[maxn+5];
int T;
char op;void init()
{for(int i=0;i<=maxn;i++){pre[i]=i;d[i]=0;lazy[i]=0;num[i]=1;ind[i]=0;}
}int findroot(int x)
{if(pre[x]==x) return x;int y= pre[x];int rooty=findroot(y);d[x]+= lazy[y];lazy[x]+= lazy[y];if(--ind[y]==0){lazy[y]=0;}pre[x]=rooty;ind[rooty]++;return rooty;
}
void join(int x,int y)
{int rootx=findroot(x);int rooty=findroot(y);pre[rootx]=rooty;d[rootx]+=num[rooty];lazy[rootx]+=num[rooty];num[rooty]+=num[rootx];ind[rooty]++;
}void query(int x,int y)
{int rootx=findroot(x);int rooty=findroot(y);if (rootx!=rooty){puts("-1");return;}int maxi=max(d[x],d[y]);int mini=min(d[x],d[y]);printf("%d\n", max(maxi-mini-1,0) );}
int main()
{int x,y;while(~scanf("%d",&T)){init();while(T--){scanf(" %c%d%d",&op,&x,&y);if(op=='M'){join(x,y);}else if(op=='C'){query(x,y);}}}return 0;
}

看了题解，发现不用使用lazy数组。
因为d[]维护的是当前结点相对于根结点的距离。
每个结点x的d[x]初始化时是0，只有一次机会作为根结点合并到其它根结点rooty，此时d[x]会有更新。
同时当x的父亲节点y=pre[x]指向新的父结点时，会更新d[y]，之后调用findroot(x)也会更新d[x]。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int f[30001],s[30001],b[30001];
int find(int o)//查找
{if(f[o]==o) return o;int k=f[o];f[o]=find(f[o]);//路径压缩s[o]+=s[k];//更新当前节点到根的距离return f[o];
}
int main()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=30000;i++) {f[i]=i;s[i]=0;b[i]=1;}for(int i=1;i<=n;i++){char ch;int x,y,dx,dy;cin>>ch>>x>>y;if(ch=='M'){dx=find(x);//查找x的根dy=find(y);//查找y的根f[dx]=dy;//把x放在y后面s[dx]+=b[dy];//更新x的根到新的根的距离b[dx]+=b[dy];//更新集合大小b[dy]=b[dx];//更新集合大小}if(ch=='C'){dx=find(x);dy=find(y);if(dx!=dy){cout<<-1<<endl;continue;}//不在同一个集合中cout<<abs(s[x]-s[y])-1<<endl;//中间战舰的数量等于x到根的距离减y到根的距离减一。}}return 0;
}

总结：

使用并查集，当一个结点x指向的结点变化时pre[x]
无非一下两种情况: 1) x作为根结点合并到另一个树的根结点。

x或其子树内结点调用查找操作，将x指向了根结点rootx。