信号补零对信号频谱的影响

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前言

本文对信号补零前与补零后分别做 FFT，对频谱进行分析。

先抛出结论：
补 1 次零相当于在原始频谱图中每两个频率之间插入1个频率值，补 2 次零相当于在原始频谱图中每两个频率之间插入 2 个频率值，并且原始频率值的位置及其幅值保持不变。因此， 补零会使频谱图中的频率点的数量增加，从而使得频谱图更加的光滑连续，但是补零不能对频谱图中的频率分辨率、频率值以及幅值有所改善。

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一、 什么是补零

FFT 运算点数（$M$） > 采样点数（$N$）时，$fft(xn,M)$ 函数对信号 $x_n$ 进行尾补零操作即在该信号尾部添加多个值为 0 的数据点以使信号总点数 $N$ 增至 FFT 运算所需点数 $M$。

二、案例

目前有一个信号 ，这个信号中仅包含两个正（余）弦波，一个是 $1MHz$，一个是 $1.5MHz$，即 $x=cos(2\pi \ast 1000000t)+cos(2\pi \ast 1050000t)$。设定采样频率为 $F_s=100MHz$，如果采 1000 个点，那么时域信号的时长就有 $10\mu s$。（采样率*采样时间=采样点数）

三、补零前仿真及分析

直接对这 1000 个数据点做 FFT

1、补零前 MATLAB 源码

%% [预处理]
clc;   % 清除命令窗口
clear; % 清除工作空间的变量和函数
clf;   % 清除当前图形%% [采样参数]
fs = 100e6;         % 采样频率 (Hz)  
ts = 1/fs;          % 采样周期 (s)
N  = 1000;          % 采样点数 (个)
n  = 0:N-1;         % 采样点索引
t  = n*ts;          % 采样时间轴%% [未补零 被采信号 && 绘制时域波形]
fa = 1e6;           % 信号 a 的频率
fb = 1.05e6;        % 信号 b 的频率
xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t);   % 被采信号 = 信号a + 信号bfigure(1);
plot(t, xn);
axis([0 10e-6 -inf inf]);  % x 轴范围设置成[0，10us]，y 轴范围最小值和最大值都为无穷
title('xn 时域图');
ylabel('幅度/V');
xlabel('时间/s');%% [未补零 被采信号 && 绘制频谱图]
M = 1000;                   % FFT 运算点数
X = fft(xn, M);             % FFT 输出值
X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N];    % 幅度轴，对FFT输出值进行归一化处理，得到幅度轴上的值。
k = 0:M-1;                  % 频率点索引
f = fs*k/(M-1);             % 频率轴figure(2);
plot(f, abs(X));
axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]);  % x 轴范围设置成[0.5e6，1.5e6]，y 轴范围设置成[0，1.5]
title('xn 频谱图');
ylabel('X(f)');
xlabel('频率/Hz');

2、仿真及结果分析

①、$x_n$ 时域图

②、$x_n$ 频谱图

如上图所示，直接对这 1000 个数据点做快速傅里叶变换，将得到频谱，只有一个谱峰，在 $1MHz$ 的地方，由于频谱点稀疏，在 $1MHz$ 根本无法将 $1MHz$ 和 $1.05MHz$ 的两个频率分开，这是因为频率分辨率不够，采样率 $100MHz$，FFT 点数 1000 个点，频率分辨率 = 采样率 /FFT 点数 = $100KHz$，所以无法区分 $50KHz$。

四、补零后仿真及分析

对数据补零，增加 FFT 点数，比如补 6000 个零，做 7000 个点的 FFT。

1、补6000个零且1000采样点

①、 MATLAB 源码

%% [预处理]
clc;   % 清除命令窗口
clear; % 清除工作空间的变量和函数
clf;   % 清除当前图形%% [采样参数]
fs = 100e6;         % 采样频率 (Hz)  
ts = 1/fs;          % 采样周期 (s)
N  = 1000;          % 采样点数 (个)
n  = 0:N-1;         % 采样点索引
t  = n*ts;          % 采样时间轴%% [被采信号 && 绘制时域波形] 
fa = 1e6;           % 信号 a 的频率
fb = 1.05e6;        % 信号 b 的频率
xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t);   % 被采信号 = 信号a + 信号bfigure(1);
plot(t, xn);
axis([0 10e-6 -inf inf]);  % x 轴范围设置成[0，10us]，y 轴范围最小值和最大值都为无穷
title('xn 时域图');
ylabel('幅度/V');
xlabel('时间/s');%% [尾补零 被采信号 && 绘制时域波形]
xnwei=[xn zeros(1,6000)];	% 补6000个零
M = length(xnwei);          % FFT 运算点数
X = fft(xnwei, M);          % FFT 输出值
X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N];    % 幅度轴，对FFT输出值进行归一化处理，得到幅度轴上的值。
k = 0:M-1;                  % 频率点索引
f = fs*k/(M-1);             % 频率轴figure(2);
plot(f, abs(X));
axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]);  % x 轴范围设置成[0.5e6，1.5e6]，y 轴范围设置成[0，1.5]
title('补零后共7000个数据点做FFT的频谱');
ylabel('X(f)');
xlabel('频率/Hz');

②、仿真及结果分析

可以看到信号频谱变得平滑了，但是仍然无法区分 $1MHz$ 和 $1.05MHz$

这里就要引出一个波形分辨率的概念，虽然补零了，提高了频谱分辨率，但是无法提高波形分辨率

2、波形分辨率

发现频率成分无法被区分开，第一反应就是：频率分辨率不够，那么，如何提高频率分辨率呢？首先要清楚，这里存在两种类型的频率分辨率。

一种叫波形分辨率，其由原始数据的时间长度决定：
$$\Delta R_w=\frac{1}{T}$$
另一种可以称之为视觉分辨率或FFT分辨率，其由采样频率和参与 FFT 的数据点数决定：
$$\Delta R_{fft}=\frac{F_s}{N_{fft}}$$
之所以要区分，就是因为后面要进行 “补零” 操作。如果不补零，直接对原始数据做 FFT，那么这两种分辨率是相等的。

例如上面，有：
$$\Delta R_w=\frac{1}{10\mu s}=\Delta R_{fft}=\frac{100MHz}{1000}=100KHz$$

所以要想提高波形分辨率，必须提高信号数据本身的长度

3、补6000个零且7000采样点

采样 7000 个信号数据做 FFT，还是补 6000 个零 ，做 7000 个点的 FFT

①、 MATLAB 源码

%% [预处理]
clc;   % 清除命令窗口
clear; % 清除工作空间的变量和函数
clf;   % 清除当前图形%% [采样参数]
fs = 100e6;         % 采样频率 (Hz)  
ts = 1/fs;          % 采样周期 (s)
N  = 7000;          % 采样点数 (个)
n  = 0:N-1;         % 采样点索引
t  = n*ts;          % 采样时间轴%% [被采信号 && 绘制时域波形] 
fa = 1e6;           % 信号 a 的频率
fb = 1.05e6;        % 信号 b 的频率
xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t);   % 被采信号 = 信号a + 信号bfigure(1);
plot(t, xn);
axis([0 10e-6 -inf inf]);  % x 轴范围设置成[0，10us]，y 轴范围最小值和最大值都为无穷
title('xn 时域图');
ylabel('幅度/V');
xlabel('时间/s');%% [尾补零 被采信号 && 绘制时域波形]
xnwei=[xn zeros(1,6000)];	% 补6000个零
M = length(xnwei);          % FFT 运算点数
X = fft(xnwei, M);          % FFT 输出值
X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N];    % 幅度轴，对FFT输出值进行归一化处理，得到幅度轴上的值。
k = 0:M-1;                  % 频率点索引
f = fs*k/(M-1);             % 频率轴figure(2);
plot(f, abs(X));
axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]);  % x 轴范围设置成[0.5e6，1.5e6]，y 轴范围设置成[0，1.5]
title('采样点7000且补零后共7000个数据点做FFT的频谱');
ylabel('X(f)');
xlabel('频率/Hz');

②、仿真及结果分析

因为此时的波形分辨率为：$\Delta R_w=\frac{1}{70\mu s}\approx 14KHz$，小于 $1MHz$ 和 $1.05MHz$ 这两个频率成分之间的举例 $50KHz$，所以可以看出有两个明显的峰值。

但是会发现 $1MHz$ 对应的幅值为 1，与原始信号中该频率成分的幅值一致，但是 $1.05MHz$ 对应的幅值明显低于 1，但是其周边的点上确有不小的幅值，这就是所谓的频谱泄露，因为数据点的个数影响，使得在 $1MHz$ 处有谱线存在，但在 $1.05MHz$ 处没有谱线存在，使测量结果偏离实际值，同时在实际频率点的能量分散到两侧的其他频率点上，并出现一些幅值较小的假谱。

这是因为在 $1.05MHz$ 那个地方刚好有个频点，也就是出现了所谓的频谱泄漏，还是数据长度不够，但这时是可以通过补零来达到目的。补零 1000 个点，做 8000 点的FFT。

4、补7000个零且7000采样点

采样 7000 个信号数据做 FFT，补 7000 个零 ,做 8000 点的 FFT

①、 MATLAB 源码

%% [预处理]
clc;   % 清除命令窗口
clear; % 清除工作空间的变量和函数
clf;   % 清除当前图形%% [采样参数]
fs = 100e6;         % 采样频率 (Hz)  
ts = 1/fs;          % 采样周期 (s)
N  = 7000;          % 采样点数 (个)
n  = 0:N-1;         % 采样点索引
t  = n*ts;          % 采样时间轴%% [被采信号 && 绘制时域波形] 
fa = 1e6;           % 信号 a 的频率
fb = 1.05e6;        % 信号 b 的频率
xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t);   % 被采信号 = 信号a + 信号bfigure(1);
plot(t, xn);
axis([0 10e-6 -inf inf]);  % x 轴范围设置成[0，10us]，y 轴范围最小值和最大值都为无穷
title('xn 时域图');
ylabel('幅度/V');
xlabel('时间/s');%% [尾补零 被采信号 && 绘制时域波形]
xnwei=[xn zeros(1,7000)];   % 补7000个零
M = length(xnwei);          % FFT 运算点数
X = fft(xnwei, M);          % FFT 输出值
X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N];    % 幅度轴，对FFT输出值进行归一化处理，得到幅度轴上的值。
k = 0:M-1;                  % 频率点索引
f = fs*k/(M-1);             % 频率轴figure(2);
plot(f, abs(X));
axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]);  % x 轴范围设置成[0.5e6，1.5e6]，y 轴范围设置成[0，1.5]
title('采样点7000且补零后共8000个数据点做FFT的频谱');
ylabel('X(f)');
xlabel('频率/Hz');

②、仿真及结果分析

FFT 分辨率为 $F_s/N=100MHz/8000=12.5KHz$，是这两个频率的公约数，$1MHz=80\ast 12.5KHz$，$1.05MHz=84\ast 12.5KHz$，所以谱线同时经过 $1MHz$ 和 $1.05MHz$ 这两个点。

从上图也可以看到效果也比较理想，将 $1MHz$ 和 $1.05MHz$ 的两个信号频率分开。

五、补零的好处

• 使数据 N 为 2 的整次幂，便于使用 FFT
• 补零后，其实是对 DFT 结果做了插值，克服“栅栏"效应，使谱外观平滑化。我把“栅栏"效应形象理解为，就像站在栅栏旁边透过栅栏看外面风景，栅栏会挡住比较多风景，此时就可能漏掉较大频域分量，但是补零以后，相当于你站远了，风景就看的越来越清楚了。
• 由于对时域数据的截短必然造成频谱泄露，因此在频谱中可能出现难以辨认的谱峰，补零在一定程度上能消除这种现象。

对信号进行头补零或尾补零再得到的幅频响应相等，相频响应不同

补零会使频谱图中的频率点的数量增加，从而使得频谱图更加的光滑连续，但是补零不能对频谱图中的频率分辨率、频率值以及幅值有所改善。

• 补零（Zero-padding）是在FFT计算中向输入信号序列的末尾添加零值，从而增加信号的长度。这样做的主要目的是在频域中插入更多的零频率样本，以获得更好的频谱分析图。
• 补零可以在一定程度上改善频谱图的可视化效果，使频谱图在频率轴上呈现更平滑的外观。这是因为补零增加了离散傅里叶变换（DFT）点数，从而在频率轴上产生更多的插值点。然而，这并不意味着补零改善了频率分辨率或精确性。
• 频率分辨率由采样率和FFT长度决定，而补零并不改变采样率。补零只是对现有的采样点进行插值，不会增加频率分辨率。实际上，补零只是在现有的频率分辨率上插入了更多的点，而不是提高了分辨率本身。
• 频率值和幅值也不会因为补零而改变。补零只是在现有的频率轴上插入了更多的点，对原有的频率值和幅值进行了插值。这些插值点的值是通过对原始采样点进行插值计算得到的，而不是通过补零本身引入的信息。
• 如果希望改善频率分辨率或精确性，需要增加采样率或使用更长的FFT长度。

六、资源自取

信号补零对信号频谱的影响

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