[数据结构】二叉树

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图我们可以发现：

1.二叉树不存在大于2 的度

2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。是有序树

任意二叉树都是由上图构成的

2.两种特殊的二叉树

2.1.满二叉树

    如果一棵二叉树每层的节点都达到最大值，则我们称这颗二叉树为满二叉树。

如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。

2.2完全二叉树

    完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^i-1(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k-1(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i
的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

4.二叉树的存储

  二叉树的存储分为：顺序存储和链式存储

我将在下一篇博客中给大家介绍顺序存储，我们先来看看链式存储：

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
 

// 孩子表示法class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树} // 孩子双亲表示法class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点}

5.二叉树的基本操作

  为了方便大家理解，这里我先手动快速创建一颗二叉树： 

·

static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;TreeNode(char val) {this.val = val;}}public TreeNode create(){TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');A.left=B;A.right=C;B.left=D;B.right=E;E.right=H;C.left=F;C.right=G;return A;}

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：
1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
 

5.1 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历
   学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
        在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点
 

// 前序遍历void preOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);};// 中序遍历void inOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);};// 后序遍历void postOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val + " ");}

2. 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在
层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

5. 二叉树的基本操作

public class BinaryTree {static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;TreeNode(char val) {this.val = val;}}public TreeNode create(){TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');TreeNode g = new TreeNode('g');A.left=B;A.right=C;B.left=D;B.right=E;E.right=H;C.left=F;C.right=G;return A;}// 前序遍历void preOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);};// 中序遍历void inOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);};// 后序遍历void postOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val + " ");}public int size;// 获取树中节点的个数int size(TreeNode root){if(root == null){return 0;}int leftSize =  size(root.left);int rightSize = size(root.right);return leftSize+rightSize+1;}// 获取叶子节点的个数int getLeafNodeCount;int getLeafNodeCount(TreeNode root){if(root == null){return 0;}if(root.left == null && root.right ==null){return 1;}int leftSize =getLeafNodeCount(root.left);int rightSize=getLeafNodeCount(root.right);return leftSize+rightSize;}// 子问题思路-求叶子结点个数// 获取第K层节点的个数int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if(root == null ){return 0;}if(k == 1){return 1;}int leftSize = getKLevelNodeCount(root.left,k-1);int rightSize = getKLevelNodeCount(root.right,k-1);return leftSize+rightSize;}// 获取二叉树的高度int getHeight(TreeNode root){if(root == null){return 0;}if(root.left == null && root.right == null){return 1;}int leftSize = getHeight(root.left);int rightSize = getHeight(root.right);return (Math.max(leftSize, rightSize)) +1 ;}// 检测值为value的元素是否存在TreeNode find(TreeNode root, char val){if(root == null){return root;}if(root.val == val){return root;}TreeNode left =  find(root.left,val);if(left !=null){return left;}TreeNode right =  find(root.right,val);if(right != null){return right;}return null;}
}