条件期望3

条件期望例题—连续发生的事情

连续地做二项实验, 每一次成功概率为p.
当连续k次成功时, 停止实验.
求停止实验时做的总实验次数的期望.

解:
错误解法
设$N_k$为停止实验时做的总实验次数, 则
$$\begin{array}{rl}E[N_k]& =E[E[N_k|N_{k-1}]]\\ & =\sum _{j=k-1}^{\infty }E[N_k|N_{k-1}=j]\end{array}$$
因为
$$E[N_k|N_{k-1}]=p\cdot (N_{K-1}+1)+(1-p)\cdot E[N_k]$$
(一旦错了又得重开)
对两边去取期望
$$E[E[N_k|N_{k-1}]]=E[N_k]=p\cdot (E[N_{k-1}]+1)+(1-p)\cdot E[N_k]$$
即
$$E[N_k]=E[N_{k-1}]+1$$
因为$E[N_1]=\frac{1}{p}$, 所以

$$\begin{array}{rl}E[N_2]& =\frac{1}{p}+1\\ & \downarrow \\ E[N_n]& =\frac{1}{p}+(n-1)\end{array}$$
易知上述解法的答案在直觉上是不成立的, 因为随着k的增大, $E[N_k]$的增长速度应该以非常快的速度增大, 而非仅仅是线性增长, 所以显然是错误的.

正确解法
$$E[N_k]=E[E[N_k|N_{k-1}]]$$
显然, 最要紧的是找出$E[N_k|N_{k-1}]$作为$N_{k-1}$的函数, 这个函数关系是什么
(一旦错了又得重开), 这个思路对的, 但(1)式是错的
$$E[N_k|N_{k-1}]=p\cdot (N_{K-1}+1)+(1-p)\cdot E[N_k]\text{\hspace{1em}(1)}$$

应该是这样的思路
$$\begin{array}{rl}现在已经做了& N_{k-1}次试验\\ \swarrow & \searrow \\ 成功(概率p)& 失败(概率1-p)\\ N_k=N_{k-1}+1& N_k=N_{k-1}+1+N_k\end{array}$$
所以$(2)$式才是正确的
$$\begin{array}{rl}E[N_k|N_{k-1}]& =p\cdot (N_{K-1}+1)+(1-p)\cdot (N_{K-1}+1+E[N_k])\\ & =N_{K-1}+(1-p)\cdot E[N_k]\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其他的推导过程同上, 最终也是一个递归方程
$$E[N_k]=\frac{E[N_{k-1}]}{p}+\frac{1}{p}$$
最终的结果是
$$E[N_k]=\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots +\frac{1}{p^k}$$
显然这一结果才是正确的结果, 直观上也更加准确.