【知识串联】概率论中的值和量（随机变量/数字特征/参数估计）【考研向】【按概率论学习章节总结】（最大似然估计量和最大似然估计值的区别）

就我的概率论学习经验来看，这两个概念极易混淆，并且极为重点，然而，在概率论的前几章学习中，如果只是计算，对这方面的辨析不清并没有问题。然而，到了后面的参数估计部分，却可能出现问题，而这些问题是比较隐晦而且难以发现的，并且鲜有老师强调。因此，就这方面希望能够帮助同样对概率论的这部分内容有疑惑的同学。

随机变量

首先，在学习概率最开始的时候，我们接触了随机变量X，它是一种量，就是说它是变化的（这是我的理解方式）。对于这个随机变量X，我们怎么样才能让它定下来呢？通过抽样的方式。

举个例子，随机变量X（我其实感觉这个地方和最开始的事件容易混淆，我姑且把事件和随机变量混为一谈了（这个部分博友有更好的说法恳请指正））我可以说是抛硬币了，那么我只有抛了，才能知道这个值是多少，否则单论这个量（抛硬币），我是不能得出任何有用的信息的，我们只有通过抛硬币，才能发现X，X是抽象的，是被我们观察了无数次的实验结果所定义的（我姑且这么阐释了）。

当硬币抛出后，我们有了第一个样本x1，这个不一样了，我们叫它样本值x1，它是一个值。是有确切的大小的。至此，我们的前三章的值和量解决完毕。

数字特征

在第四章，我们接触到了新的东西，叫做数字特征，比如期望EX，方差DX，它们是确切的值，我想也是显而易见的。

对于一个随机变量X，假设它是服从标准正态分布的，显然它的期望是0，方差是1，是确定的值。

至此，我们的第四章的值和量解决完毕。

参数估计

在后面的几章中，我们接触了比较多的值和量，极大似然估计量，无偏估计量，样本均值，等等。在这里我们抽取两组进行说明，（样本均值，样本方差）和（期望，方差），极大似然估计值和极大似然估计量。

样本均值和样本方差，他们是量（这个地方是很容易混淆的）。
期望和方差，他们是值。

可以这么理解，样本均值是X拔，是n分之1乘以X的求和，既然X是量，那么X拔当然也是量（见补充），同理可得样本方差。

对于极大似然估计值和极大似然估计量，有了前面的铺垫，我们可以比较清晰的解决了。

极大似然估计值是θ，是值。
极大似然估计量是θ尖，是量。

在求解极大似然估计的时候，我们发现，最开始求解极大似然估计值的时候，我们都是用的x。因为值要和值对应，（极大似然估计值和样本值相对应）。

在求解极大似然估计量的时候，我们发现，在最后一步往往是，我们转换成了θ尖，这个时候，对应的x变成了X，这是因为，量要和量对应（随机变量和极大似然估计量对应）。

这个应该怎么理解呢？这里给出一个我个人的看法。

虽然样本均值和样本方差都是值，但是就像在随机变量中，我们可以通过抽样x来观察X的性质一样，在样本均值和样本方差的观察中，我们也是通过抽样样本来估计样本均值和方差。

于是，在极大似然估计的时候，我们往往可以看到，前一步θ对应x，后一步就跳到θ尖对应X了，或者可以说，我们无法得到量，即便是样本的量我们也无法得到，但是我们可以用样本值去估计样本的量，因此，通过同步替换，可以达到用样本值代替（估计）量的效果。有了这个样本的估计量，我们再用样本的估计量去估计随机变量的数字特征（值）

样本的观测值 --------> 样本的估计量 --------> 随机变量的数字特征

第一步中，我们用样本的观测值代替样本的估计量，是因为我们假设我们经过足够多的观测后，我们可以得到随机变量的性质（基于大数定律），然而在现实生活中，我们不可能进行无穷无尽的观测，因此，就用有限次观测值来近似量。

在第二步中，我们用样本的估计量来计算随机变量的数字特征就是我们在第一步的假设的延拓（比如套个D或者E，本质上就是等价变形？基于第一步的假设？）（这部分差不多可能是车轱辘话了？我暂且做个不清晰的叙述了，欢迎博友进行补充）

再举一个例子，通过样本方差S方去估计随机变量的方差，我们也是通过在S方上套一个D，就可以将其变为值，就可以进行估计了（上述的第二步）

至此，我们概率论所有重要的值和量解析完毕。

补充

X是随机变量g（X）当然也是随机变量，x是样本值，g（x）当然也是值（似乎没这么考过。。）。