06 MIT线性代数-线性无关，基和维数Independence, basis, and dimension

1. 线性无关 Independence

Suppose A is m by n with m<n (more unknowns than equations)

Then there are nonzero solutions to Ax=0 

Reason: there will be free variables! A中具有至少一个自由变量，那么Ax=0一定具有非零解。A的列向量可以线性组合得到零向量，所以A的列向量是线性相关的。

independence:vectors X1, X2,...,Xn are independent if no combination gives zero vectors (expect the zero comb. all Ci =0)

 

Repeat when v1,v2,..., vn are columns of A 

they are independent if nullspace of A is zero vector , rank=n , N(A)={0}, no free variables 若这些向量作为列向量构成矩阵A，则方程Ax=0只有零解x=0，或称矩阵A的零空间只有零向量

 they are dependent if Ac=0 for some nonzero C, rank<n , Yes free variables

结论:

此矩阵构成的方程Ax=0必有非零解，即三个向量线性相关

矩阵A的列向量为线性无关，则A所有的列均为主元列，没有自由列，矩阵的秩为n。

若A的列向量为线性相关，则矩阵的秩小于n，并且存在自由列

2. 张成空间 Spanning a space

vectors v1, v2, v3, ..., vn span a space means: The space consists of all combs. of those vectors 

3. 基与维数Basis &Dimension

Basis for a space is a sequance of vectors v1, v2, ..., vd with 2 properties:

1. they are independent

2. they span the space

空间的基告诉我们了空间的一切信息

Example: Space is R3 

standard: one basis 

Rn : n vectors give basis if the nxn matrix with those cols is invertible

3.1 子空间的基 Basis for a subspace

 可以张成R3中的一个平面，但是它们无法成为R3空间的一组基

Given a space: Every basis for the space has the same number of vectors (dimension of the space)

3.2 列空间和零空间的基 Basis of a column space and nullspace

讨论列空间：

矩阵A的四个列向量张成了矩阵A的列空间，其中第3列和第4列与前两列线性相关，而前两个列向量线性无关。因此前两列为主元列。他们组成了列空间C(A)的一组基。矩阵的秩为2。

rank矩阵的秩r=# of pivot columns 矩阵主元列的数目=dimension of C(A)列空间的维数

讨论零空间：

必然在零空间N(A)之内

dim N(A)零空间的维数=自由列的数目# of free variables=n-r