【数据结构】数组和字符串（七）：特殊矩阵的压缩存储：三元组表的转置、加法、乘法操作

4.2.1 矩阵的数组表示

【数据结构】数组和字符串（一）：矩阵的数组表示

4.2.2 特殊矩阵的压缩存储

  矩阵是以按行优先次序将所有矩阵元素存放在一个一维数组中。但是对于特殊矩阵，如对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵和稀疏矩阵等, 如果用这种方式存储，会出现大量存储空间存放重复信息或零元素的情况，这样会造成很大的空间浪费。为节约存储空间和算法（程序）运行时间，通常会采用压缩存储的方法。

• 对角矩阵：指除了主对角线以外的元素都为零的矩阵，即对 任意 i ≠ j (1≤ i , j ≤n)，都有M(i, j)=0。由于只有主对角线上有非零元素，只需存储主对角线上的元素即可。
• 三角矩阵：指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地，只需存储其中一部分非零元素，可以节省存储空间。
• 对称矩阵：指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵。由于对称矩阵的非零元素有一定的规律，可以只存储其中一部分元素，从而减少存储空间。
• 稀疏矩阵：指大部分元素为零的矩阵。传统的按行优先次序存储方法会浪费大量空间来存储零元素，因此采用压缩存储的方法更为合适。常见的压缩存储方法有：压缩稠密行（CSR）、压缩稠密列（CSC）、坐标列表（COO）等。

a. 对角矩阵的压缩存储

【数据结构】数组和字符串（二）：特殊矩阵的压缩存储：对角矩阵——一维数组

b~c. 三角、对称矩阵的压缩存储

【数据结构】数组和字符串（三）：特殊矩阵的压缩存储：三角矩阵、对称矩阵——一维数组

d. 稀疏矩阵的压缩存储——三元组表

  对于稀疏矩阵的压缩存储，由于非零元素的个数远小于零元素的个数，并且非零元素的分布没有规律，无法简单地利用一维数组和映射公式来实现压缩存储。针对稀疏矩阵，通常采用特定的数据结构来进行压缩存储，以减少存储空间的占用。

  一种常见的稀疏矩阵压缩存储方法是使用"三元组"表示法，也称为COO（Coordinate）格式，只存储非零元素的值以及它们的行列坐标。通过使用三元组（Triplet）来表示非零元素的位置和值，每个三元组包含三个信息：非零元素的行索引、非零元素的列索引以及非零元素的值。

【数据结构】数组和字符串（四）：特殊矩阵的压缩存储：稀疏矩阵——三元组表

4.2.3三元组表的转置、加法、乘法、操作

转置

  假设稀疏矩阵存储在一个三元组表a中，且A的非零元素个数为count，算法Transpose求A的转置矩阵并将其保存在三元组表b中。

• 算法的主要思想是针对每个列号k（k=0, 2,… , n-1）对a进行扫描，考察a中是否有列号为k的结点（注意：列号为k的结点可能不止一个），若有，记为a[u]（假定a[u]在a中的行号为i ），将a[u]依次保存在b的b[w] 中，则row(b[w])=k，col(b[w])=i，value(b[w]) =value(a[u]).
  

TripletTable matrixTranspose(TripletTable* table) {TripletTable result;initTable(&result, table->cols, table->rows);  // 转置后的矩阵行列互换int j = 0;for (int k = 0; k < table->cols; k++) {for (int i = 0; i < table->length; i++) {Triple* element = &(table->data[i]);if (element->col == k) {insertElement(&result, k, element->row, element->value);
//                result.data[j].row = k;  // 该元素在result中的行号应为k
//                result.data[j].col = element->row;  // 该元素在result中的列号应为其在table中的行号
//                result.data[j].value = element->value;j++;  // 考察result中的下一个结点result.length = j;  // 更新result的长度}}
//        printf("\n");
//        displayMatrix(&result);}return result;
}

   matrixTranspose函数实现稀疏矩阵的转置操作：

• 首先，创建一个新的TripletTable变量result，用于存储输入矩阵的转置。
• 使用initTable函数初始化result，将其行数设置为输入矩阵的列数，列数设置为输入矩阵的行数。
• 使用一个循环遍历输入矩阵的所有元素：
  • 对于每个元素，将其行号作为转置后矩阵中的列号，列号作为转置后矩阵中的行号，并将值保持不变。
  • 将转置后的元素插入到result中。
• 返回result作为输入矩阵的转置。

加法

TripletTable matrixAddition(TripletTable* table1, TripletTable* table2) {TripletTable result;initTable(&result, table1->rows, table1->cols);int i = 0, j = 0;while (i < table1->length && j < table2->length) {Triple* element1 = &(table1->data[i]);Triple* element2 = &(table2->data[j]);if (element1->row < element2->row || (element1->row == element2->row && element1->col < element2->col)) {insertElement(&result, element1->row, element1->col, element1->value);i++;} else if (element1->row > element2->row || (element1->row == element2->row && element1->col > element2->col)) {insertElement(&result, element2->row, element2->col, element2->value);j++;} else {int sum = element1->value + element2->value;if (sum != 0) {insertElement(&result, element1->row, element1->col, sum);}i++;j++;}}while (i < table1->length) {Triple* element1 = &(table1->data[i]);insertElement(&result, element1->row, element1->col, element1->value);i++;}while (j < table2->length) {Triple* element2 = &(table2->data[j]);insertElement(&result, element2->row, element2->col, element2->value);j++;}return result;
}

   matrixAddition函数实现稀疏矩阵的加法操作：

• 创建一个新的TripletTable变量result，用于存储两个输入矩阵的和。
• 使用initTable函数初始化result，将其行数和列数设置为与输入矩阵相同。
• 使用两个指针i和j分别指向两个输入矩阵的元素。
• 通过比较当前元素的行号和列号，以及使用循环遍历的方式，将两个输入矩阵的元素逐个比较并进行相应的操作：
  • 如果第一个矩阵的元素在行号和列号上小于第二个矩阵的元素，将第一个矩阵的元素插入到result中，并增加指向第一个矩阵元素的指针i。
  • 如果第一个矩阵的元素在行号和列号上大于第二个矩阵的元素，将第二个矩阵的元素插入到result中，并增加指向第二个矩阵元素的指针j。
  • 如果两个矩阵的元素在行号和列号上相等，将它们的值相加，并将结果插入到result中。然后，增加指向两个矩阵元素的指针i和j。
• 处理完所有元素后，将剩余的未处理元素插入到result中。
• 返回result作为两个输入矩阵的和。

乘法

TripletTable matrixMultiplication(TripletTable* table1, TripletTable* table2) {TripletTable result;initTable(&result, table1->rows, table2->cols);int matrix[table1->rows][table2->cols];for (int i = 0; i < table1->rows; i++) {for (int j = 0; j < table2->cols; j++) {matrix[i][j] = 0;}}for (int i = 0; i < table1->length; i++) {Triple* element1 = &(table1->data[i]);for (int j = 0; j < table2->length; j++) {Triple* element2 = &(table2->data[j]);if (element1->col == element2->row) {matrix[element1->row][element2->col] += element1->value * element2->value;}}}for (int i = 0; i < table1->rows; i++) {for (int j = 0; j < table2->cols; j++) {if (matrix[i][j] != 0) {insertElement(&result, i, j, matrix[i][j]);}}}return result;
}

   matrixMultiplication函数实现稀疏矩阵的乘法操作：

• 创建一个新的TripletTable变量result，用于存储两个输入矩阵的乘积。
• 使用initTable函数初始化result，将其行数设置为第一个输入矩阵的行数，列数设置为第二个输入矩阵的列数。
• 创建一个临时的二维数组matrix，用于存储两个输入矩阵相乘的结果。
• 将matrix中的所有元素初始化为0。
• 使用两个嵌套的循环遍历第一个输入矩阵的所有元素：
  • 对于每个元素，使用另一个嵌套的循环遍历第二个输入矩阵的所有元素。
  • 如果第一个矩阵的元素的列号等于第二个矩阵的元素的行号，将它们的值相乘，并将结果累加到matrix中对应位置的元素上。
• 遍历matrix中的所有元素，将非零元素插入到result中。
• 返回result作为两个输入矩阵的乘积。

算法测试

int main() {TripletTable matrixA, matrixB;initTable(&matrixA, 3, 3);initTable(&matrixB, 3, 3);// Insert elements into matrix AinsertElement(&matrixA, 0, 0, 1);insertElement(&matrixA, 0, 2, 2);insertElement(&matrixA, 1, 1, 3);insertElement(&matrixA, 2, 0, 4);insertElement(&matrixA, 2, 2, 5);// Insert elements into matrix BinsertElement(&matrixB, 0, 1, 6);insertElement(&matrixB, 1, 0, 7);insertElement(&matrixB, 1, 2, 8);insertElement(&matrixB, 2, 1, 9);printf("Matrix A:\n");displayMatrix(&matrixA);printf("\nMatrix B:\n");displayMatrix(&matrixB);TripletTable matrixC = matrixAddition(&matrixA, &matrixB);printf("\nMatrix A + B:\n");displayMatrix(&matrixC);TripletTable matrixD = matrixTranspose(&matrixA);printf("\nTranspose of Matrix A:\n");displayMatrix(&matrixD);TripletTable matrixE = matrixMultiplication(&matrixA, &matrixB);printf("\nMatrix A * B:\n");displayMatrix(&matrixE);return 0;
}

实验结果

代码整合

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAX_SIZE 10typedef struct {int row;int col;int value;
} Triple;typedef struct {Triple data[MAX_SIZE];int rows;int cols;int length;
} TripletTable;void initTable(TripletTable* table, int rows, int cols) {table->rows = rows;table->cols = cols;table->length = 0;memset(table->data, 0, sizeof(Triple) * MAX_SIZE);  // 新添加
}void insertElement(TripletTable* table, int row, int col, int value) {if (table->length >= MAX_SIZE) {printf("Table is full. Cannot insert more elements.\n");return;}Triple* element = &(table->data[table->length]);element->row = row;element->col = col;element->value = value;table->length++;
}void displayMatrix(TripletTable* table) {int matrix[table->rows][table->cols];for (int i = 0; i < table->rows; i++) {for (int j = 0; j < table->cols; j++) {matrix[i][j] = 0;}}
//    printf("Row\tColumn\tValue\n");for (int i = 0; i < table->length; i++) {Triple* element = &(table->data[i]);
//        printf("%d\t%d\t%d\n", element->row, element->col, element->value);matrix[element->row][element->col] = element->value;}//    printf("Matrix:\n");for (int i = 0; i < table->rows; i++) {for (int j = 0; j < table->cols; j++) {printf("%d\t", matrix[i][j]);}printf("\n");}
}
TripletTable matrixAddition(TripletTable* table1, TripletTable* table2) {TripletTable result;initTable(&result, table1->rows, table1->cols);int i = 0, j = 0;while (i < table1->length && j < table2->length) {Triple* element1 = &(table1->data[i]);Triple* element2 = &(table2->data[j]);if (element1->row < element2->row || (element1->row == element2->row && element1->col < element2->col)) {insertElement(&result, element1->row, element1->col, element1->value);i++;} else if (element1->row > element2->row || (element1->row == element2->row && element1->col > element2->col)) {insertElement(&result, element2->row, element2->col, element2->value);j++;} else {int sum = element1->value + element2->value;if (sum != 0) {insertElement(&result, element1->row, element1->col, sum);}i++;j++;}}while (i < table1->length) {Triple* element1 = &(table1->data[i]);insertElement(&result, element1->row, element1->col, element1->value);i++;}while (j < table2->length) {Triple* element2 = &(table2->data[j]);insertElement(&result, element2->row, element2->col, element2->value);j++;}return result;
}TripletTable matrixMultiplication(TripletTable* table1, TripletTable* table2) {TripletTable result;initTable(&result, table1->rows, table2->cols);int matrix[table1->rows][table2->cols];for (int i = 0; i < table1->rows; i++) {for (int j = 0; j < table2->cols; j++) {matrix[i][j] = 0;}}for (int i = 0; i < table1->length; i++) {Triple* element1 = &(table1->data[i]);for (int j = 0; j < table2->length; j++) {Triple* element2 = &(table2->data[j]);if (element1->col == element2->row) {matrix[element1->row][element2->col] += element1->value * element2->value;}}}for (int i = 0; i < table1->rows; i++) {for (int j = 0; j < table2->cols; j++) {if (matrix[i][j] != 0) {insertElement(&result, i, j, matrix[i][j]);}}}return result;
}TripletTable matrixTranspose(TripletTable* table) {TripletTable result;initTable(&result, table->cols, table->rows);  // 转置后的矩阵行列互换int j = 0;for (int k = 0; k < table->cols; k++) {for (int i = 0; i < table->length; i++) {Triple* element = &(table->data[i]);if (element->col == k) {insertElement(&result, k, element->row, element->value);
//                result.data[j].row = k;  // 该元素在result中的行号应为k
//                result.data[j].col = element->row;  // 该元素在result中的列号应为其在table中的行号
//                result.data[j].value = element->value;j++;  // 考察result中的下一个结点result.length = j;  // 更新result的长度}}
//        printf("\n");
//        displayMatrix(&result);}return result;
}int main() {TripletTable matrixA, matrixB;initTable(&matrixA, 3, 3);initTable(&matrixB, 3, 3);// Insert elements into matrix AinsertElement(&matrixA, 0, 0, 1);insertElement(&matrixA, 0, 2, 2);insertElement(&matrixA, 1, 1, 3);insertElement(&matrixA, 2, 0, 4);insertElement(&matrixA, 2, 2, 5);// Insert elements into matrix BinsertElement(&matrixB, 0, 1, 6);insertElement(&matrixB, 1, 0, 7);insertElement(&matrixB, 1, 2, 8);insertElement(&matrixB, 2, 1, 9);printf("Matrix A:\n");displayMatrix(&matrixA);printf("\nMatrix B:\n");displayMatrix(&matrixB);TripletTable matrixC = matrixAddition(&matrixA, &matrixB);printf("\nMatrix A + B:\n");displayMatrix(&matrixC);TripletTable matrixD = matrixTranspose(&matrixA);printf("\nTranspose of Matrix A:\n");displayMatrix(&matrixD);TripletTable matrixE = matrixMultiplication(&matrixA, &matrixB);printf("\nMatrix A * B:\n");displayMatrix(&matrixE);return 0;
}