第七章 图【数据结构与算法】【精致版】

前言

2023-11-6 17:07:13

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第七章 图

7.1 应用实例

城市交通问题

7.2图的基本概念

图的定义:图是由顶点集V和弧集R构成的数据结构,Graph=（V,R）
其中：
V={v|v∈ DataObject}
R={VR}
VR={<v,w>|P(v,w)且(v,w∈V)}
<v,w>表示从顶点v到顶点w的一条弧,称为“弧尾”,w为“弧头”
谓词P(v,w)定义了弧<u,w>的意义或信息,表示从到w的一条单向通道。
苦<v,w>∈VR,必有<w,v>∈VR,则以(v,w)代替这两个有序对,称v和w之间存在一条边。
有向图:由顶点集和弧集构成的图称为“有向图”。
无向图:由顶点集和边集构成的图称为“无向图"。

有向网或无向网:有向图或无向图中的弧或边带权后的图分别称为“有向网"或“无向网”

子图:设图G=(V|{VR})和图G’=(V’|{VR’}),且V’⊆V,VR’⊆VR,则称G’为G的子图。
完全图:图中有n个顶点、n(n-1)/2条边的无向图称为“完全图”。
有向完全图;图中有n个顶点、n(n-1)条弧的有向图称为“有向完全图”
稀疏图:假设图中有n个顶点e条边(或弧),若边(或弧)的个数e<nlogn,则称为“稀疏图”, 否则称为“稠密图”
邻接点:若无向图中顶点v和w之间存在一条边(n,w),则称顶点v和w互为邻接点,称边 (r,w)依附于顶点n和w或边(v,w)与顶点v和w相关联。
顶点的度;在无向图中与顶点v关联的边的数目定义为v的度,记为TD(v)。
握手定理:可以看出,在无向图中,其总度数等于总边数的两倍。
对于有向图,若顶点v和w之间存在一条弧<u,w>,则称顶点v邻接到顶点w,顶点v邻接自 顶点v,称弧<v,w>与顶点u和w相关联。
以v为尾的弧的数目定义为v的出度,记为OD(v)。
以为头的弧的数目定义为v的入度,记为ID(v)。
顶点的度(TD)=出度(OD)+入度(ID)。
可以看出,在有向图中,其总人度、总出度和总强数相等
路径:设用G=(V|{VR}中的{u=v_i,0,v_i,1,…,v_i,m=w}顶点序列中，有（v_i,j-1,v_i,j）∈VR（1<=j<=m）,则称从顶点u到顶点w之间存在一条路径。路径上边的数目称为“路径长度”，有向图的路径也是有向的。
简单路径:顶点不重复的欧种称为“简单路径“
回路:首尾顶点相同的路径称为“回路“
简单回路:除了首尾顶点,中间任何一个顶点不重复的问路称为“简单回路”
连通图:在无向图中,若顶点V_i到V_j有路径存在,则称V_i和V_j是连通的。若无向图中任意两个顶点之间都有路径相通,即是连通的,则称此图为连通图,否则,称其为非连通图
无向图中各个极大连通子图称为该图的“连通分量”
强连通图:在有向图中,若任意两个顶点之间都存在一条有向路径,则称此有向图为“强连通图”;否则,称其为“非强连通图”。
有向图中各个极大强连通子图称为该图的强连通分量
生成树:包含连通图中全部项点的极小连通子图称为该图的“生成树”,即假设一个连通图有n个顶点和e条边,其中n个顶点和n-1条边构成一个极小连通子图,该极小连通子图为此连通图的生成树。对非连通图,由各个连通分量的生成树构成的集合称为该非连通图的“生成森林”

7.3图的存储结构

7.3.1邻接矩阵

图的邻接矩阵是表示顶点之间的相邻关系的矩阵，是顺序存储结构。
设图G是一个具有n个顶点的图,它的顶点集合V={v₀,v₁,v₂，…,v_n-1}则顶点之间的关系可用如下形式的矩阵A来描述,即矩阵A中每个元素A[i][j]满足

			{	1	若<v~i~,v~j~>或（v~i~,v~j~）∈VR
A[i][j] = 	{{	0	反之

对于带权图(网),邻接矩阵A中每个元素A[i][j]满足

			{	weight	若<v~i~,v~j~>或（v~i~,v~j~）∈VR
A[i][j] = 	{{	∞	反之

邻接矩阵的数据类型描述为:

#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>
#define MAXVEX 20				//最大顶点个数		
#define INFINITY 32768			//表示极大值 
typedef int Vextype;  
typedef struct{int arcs[MAXVEX][MAXVEX];	//边（或弧）信息Vextype vex[MAXVEX];		//顶点信息，顶点类型根据实际情况自行定义int vexnum;					//顶点数目int arcnum;					//边(或弧)数目
}AdjMatrix;//邻接矩阵

1-邻接矩阵.c

只针对无向网

//邻接矩阵的数据类型描述为:
#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>
#define MAXVEX 20				//最大顶点个数		
#define INFINITY 32768			//表示极大值 
typedef int Vextype;  
typedef struct{int arcs[MAXVEX][MAXVEX];	//边（或弧）信息Vextype vex[MAXVEX];		//顶点信息，顶点类型根据实际情况自行定义int vexnum;					//顶点数目int arcnum;					//边(或弧)数目
}AdjMatrix;//邻接矩阵
//【算法7.1】用邻接矩阵创建无向网
void Create(AdjMatrix *G){int i,j,k,weight,vex1,vex2;printf("请输入无向网中的顶点数和边数:\n");  scanf("%d,%d",&G->vexnum,&G->arcnum);  for(i=1;i<=G->vexnum;i++){for(j=1;j<=G->vexnum;j++){G->arcs[i][j]=INFINITY;//如果不是网，则赋值0}}		printf("请输入无向网中%d个顶点:\n",G->vexnum);  for(i=1;i<=G->vexnum;i++){printf("No.%d个顶点:顶点V:",i);  scanf("%d", &G->vex[i]);} printf("\n请输入无向网中%d条边:",G->arcnum);  for(k=0;k<G->arcnum;k++){printf("\nNo.%d条边:\n",k+1);  printf("顶点V:"); scanf("%d",&vex1);printf ("<--->顶点V:");scanf ("%d",&vex2);printf("权值:");scanf("%d", &weight);G->arcs[vex1][vex2] =weight;//如果不是网，则赋值1		G->arcs[vex2][vex1] =weight;//如果是有向网，删掉此句}}
void Printf(AdjMatrix* G){printf("共有%d个顶点",G->vexnum);printf("共有%d条边",G->arcnum);printf("\n");int i,j;printf("\\     ");for(i=1;i<=G->vexnum;i++){printf("%-5d ",G->vex[i]);}printf("\n");for(i=1;i<=G->vexnum;i++){printf("%-5d ",G->vex[i]);for(j=1;j<=G->vexnum;j++){			printf("%-5d ",G->arcs[i][j]);}printf("\n");}
}

void main(){AdjMatrix* G=(AdjMatrix*)malloc(sizeof(AdjMatrix));Create(G);Printf(G);} 

运行结果如下

2-邻接矩阵plus.c

适用于各种类型的图

//邻接矩阵的数据类型描述为:
#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>#define MAXVEX 20				//最大顶点个数		
#define INFINITY 32768			//表示极大值 
typedef enum GraghType{UG=1,DG,UN,DN
}GT; 
typedef int Vextype;  
typedef struct{int arcs[MAXVEX][MAXVEX];	//边（或弧）信息Vextype vex[MAXVEX];		//顶点信息，顶点类型根据实际情况自行定义int vexnum;					//顶点数目int arcnum;					//边(或弧)数目GT t;
}AdjMatrix;//邻接矩阵
void type(GT t){switch(t){case UG:printf("无向图");break; case DG:printf("有向图");break; case UN:printf("无向网");break; case DN:printf("无向网");break; }}
//【算法7.1】用邻接矩阵创建无向网
void Create(AdjMatrix *G){GT t=G->t;int i,j,k,weight,vex1,vex2;printf("请输入");  type(t);printf("中的顶点数和边数:\n");scanf("%d,%d",&G->vexnum,&G->arcnum);  for(i=1;i<=G->vexnum;i++){for(j=1;j<=G->vexnum;j++){G->arcs[i][j]=INFINITY;//如果不是网，则赋值0}}	printf("请输入");  type(t);	printf("中%d个顶点:\n",G->vexnum);  for(i=1;i<=G->vexnum;i++){printf("No.%d个顶点:顶点V:",i);  scanf("%d", &G->vex[i]);} printf("\n请输入");  type(t);printf("中%d条边:",G->arcnum);  for(k=0;k<G->arcnum;k++){printf("\nNo.%d条边:\n",k+1);  printf("顶点V:"); scanf("%d",&vex1);printf ("<--->顶点V:");scanf ("%d",&vex2);printf("权值:");scanf("%d", &weight);if(G->t==1||G->t==2){weight=1;}G->arcs[vex1][vex2] =weight;//如果不是网，则赋值1if(G->t==1||G->t==3){G->arcs[vex2][vex1] =weight;//如果是有向网，删掉此句}		}}
void Printf(AdjMatrix* G){printf("图的类型:");type(G->t);printf("\n");printf("共有%d个顶点",G->vexnum);printf("共有%d条边",G->arcnum);printf("\n");int i,j;printf("\\     ");for(i=1;i<=G->vexnum;i++){printf("%-5d ",G->vex[i]);}printf("\n");for(i=1;i<=G->vexnum;i++){printf("%-5d ",G->vex[i]);for(j=1;j<=G->vexnum;j++){			printf("%-5d ",G->arcs[i][j]);}printf("\n");}
}

void main(){printf("创建\n");AdjMatrix* G=(AdjMatrix*)malloc(sizeof(AdjMatrix));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); Create(G);printf("打印\n");Printf(G);} 

运行结果如下

7.3.2 邻接表

邻接表由边表和顶点表组成。
边表就是对图中的每一个顶点建立一条单链表，表中存放与该顶点邻接的所有顶点，相当于邻接矩阵的所有非零元素。
顶点表用于存放图中每一个顶点的信息以及指向改顶点边表的头指针。
顶点结构
vexdata head
图的边结构
adjvex next
网的边结构
adjvex weight next

邻接矩阵的数据类型描述为:

#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>
#define MAXVEX 20			
typedef struct ArcNode{int adjvex;int weight;struct ArcNode *next;
}ArcNode;

3-邻接表.c

只针对无向网

//邻接矩阵的数据类型描述为:
#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>
#define MAXVEX 20			
typedef struct ArcNode{int adjvex;int weight;struct ArcNode *next;
}ArcNode;typedef struct VertexNode{char vexdata;	ArcNode *head;
}VertexNode;typedef struct {VertexNode vertex[MAXVEX];int vexnum;//顶点数 int arcnum;//弧数 
}AdjList;//用邻接表创建无向网
void Create(AdjList *G){int i,j,k,weight,vex1,vex2;printf("请输入无向网中的顶点数和边数:\n");  scanf("%d,%d",&G->vexnum,&G->arcnum);  printf("请输入无向网中%d个顶点:\n",G->vexnum);  for(i=1;i<=G->vexnum;i++){		VertexNode v;		printf("No.%d个顶点:顶点V:",i);char c=getchar();
//		if(c=='\n'){
//			c=getchar();
//		}fflush(stdin);  scanf("%c",&v.vexdata);
//		v.vexdata=c;v.head=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));G->vertex[i]=v;} printf("\n请输入无向网中%d条边:",G->arcnum);  for(k=0;k<G->arcnum;k++){printf("\nNo.%d条边:\n",k+1);  printf("顶点V:"); scanf("%d",&vex1);printf ("<--->顶点V:");scanf ("%d",&vex2);printf("权值:");scanf("%d", &weight);ArcNode *r1;r1=G->vertex[vex1].head;ArcNode *r2;r2=G->vertex[vex2].head;ArcNode *s1=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));ArcNode *s2=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));s1->adjvex=vex2;s1->weight=weight;//如果不是网，则赋值1	r1->next=s1;s2->adjvex=vex1;s2->weight=weight;//如果不是网，则赋值1r2->next=s2;r1=s1;r2=s2;r1->next=NULL;r2->next=NULL;}}
void Printf(AdjList* G){printf("共有%d个顶点",G->vexnum);printf("共有%d条边",G->arcnum);printf("\n");int i,j;for(i=1;i<=G->vexnum;i++){printf("%c(%d) ",G->vertex[i].vexdata,i);ArcNode* p=G->vertex[i].head->next;while(p!=NULL){printf("--%d--",p->weight);printf("%c(%d)    ",G->vertex[p->adjvex].vexdata,p->adjvex);p=p->next;			}printf("\n");}}

void main(){AdjList* G=(AdjList*)malloc(sizeof(AdjList));Create(G);Printf(G);} 

运行结果如下

4-邻接表plus.c

适用于各种类型的图

//邻接矩阵的数据类型描述为:
#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>
#define MAXVEX 20	
typedef enum GraghType{UG=1,DG,UN,DN
}GT; 		
typedef struct ArcNode{int adjvex;int weight;struct ArcNode *next;
}ArcNode;typedef struct VertexNode{char vexdata;	ArcNode *head;
}VertexNode;typedef struct {VertexNode vertex[MAXVEX];int vexnum;//顶点数 int arcnum;//弧数 GT t;
}AdjList;
void type(GT t){switch(t){case UG:printf("无向图");break; case DG:printf("有向图");break; case UN:printf("无向网");break; case DN:printf("有向网");break; }}
//用邻接表创建无向网
void Create(AdjList *G){GT t=G->t;int i,j,k,weight,vex1,vex2;printf("请输入");  type(t);printf("中的顶点数和边数:\n");  scanf("%d,%d",&G->vexnum,&G->arcnum);  printf("请输入");  type(t);				printf("中%d个顶点:\n",G->vexnum);  for(i=1;i<=G->vexnum;i++){		VertexNode v;		printf("No.%d个顶点:顶点V:",i);
//		char c=getchar();
//		if(c=='\n'){
//			c=getchar();
//		}fflush(stdin);  scanf("%c",&v.vexdata);
//		v.vexdata=c;v.head=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));v.head->next=NULL;G->vertex[i]=v;} printf("\n请输入");  type(t);printf("中%d条边:",G->arcnum);  for(k=0;k<G->arcnum;k++){printf("\nNo.%d条边:\n",k+1);  printf("顶点V:"); scanf("%d",&vex1);printf ("<--->顶点V:");scanf ("%d",&vex2);printf("权值:");scanf("%d", &weight);if(G->t==1||G->t==2){weight=1;//如果不是网，则赋值1	}ArcNode *r1= G->vertex[vex1].head;//尾结点 while(r1->next!=NULL){r1=r1->next;}ArcNode *s1=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));		s1->adjvex=vex2;s1->weight=weight;s1->next=r1->next;r1->next=s1;//		r1->next=NULL;if(G->t==1||G->t==3){ArcNode *r2= G->vertex[vex2].head;//尾结点 while(r2->next!=NULL){r2=r2->next;}ArcNode *s2=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));s2->adjvex=vex1;s2->weight=weight;	s2->next=r2->next;r2->next=s2;			//			r2->next=NULL;			}}}
void Printf(AdjList* G){printf("图的类型:");type(G->t);printf("\n");printf("共有%d个顶点",G->vexnum);printf("共有%d条边",G->arcnum);printf("\n");int i,j;for(i=1;i<=G->vexnum;i++){ArcNode* p=G->vertex[i].head->next;while(p!=NULL){printf("%c(%d) ",G->vertex[i].vexdata,i);printf("--%d--",p->weight);printf("%c(%d)    ",G->vertex[p->adjvex].vexdata,p->adjvex);p=p->next;			}printf("\n");}}

void main(){AdjList* G=(AdjList*)malloc(sizeof(AdjList));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); 	Create(G);Printf(G);} 

运行结果如下

7.3.3 十字链表

略

7.3.4多重链表

略

7.4图的遍历

7.4.1深度优先搜索遍历

图的深度优先搜索遍历类似于树的先序遍历,尽可能先对纵深方向进行搜索。其基本思想为从图中某个顶点V出发,访问此顶点,然后依次从V的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图,直至图中所有和V,有路径相通的顶点都被访问到。若图是连通图,则遍历过程结束，否则，图中还有顶点未被访问,则另选图中一个未被访问的顶点作
为新的出发点。重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问到。

5-DFSAdjMatrix.c

#include<stdio.h>
#include "2-邻接矩阵plus.c" //去掉main()void visit(int v0){printf("%d ",v0);
} 
//【算法 7-2】递归深度优先搜索遍历连通子图
int visited[MAXVEX]={0};//设置标志数组 
//从v0出发递归地深度优先搜索遍历连通子图
void DFSAdjMatrix(AdjMatrix g,int v0){visit(v0);visited[v0]=1;int vj;//搜索图 if(g.t==1||g.t==2){for(vj=1;vj<=g.vexnum;vj++){if(visited[vj]==0&&g.arcs[v0][vj]==1) {DFSAdjMatrix(g,vj); }}} //搜索网if(g.t==3||g.t==4){for(vj=1;vj<=g.vexnum;vj++){if(visited[vj]==0&&g.arcs[v0][vj]!=INFINITY) {DFSAdjMatrix(g,vj); }}} 
}
//【算法 7-3】深度优先遍历图g 
void TraverseG(AdjMatrix g){int v;for(v=1;v<=g.vexnum;v++){visited[v]=0;}for(v=1;v<=g.vexnum;v++){if(!visited[v]){DFSAdjMatrix(g,v);}}
}
//int HasAPath(AdjMatrix g, int v, int w) {
//	DFSAdjMatrix(g,v);
//    if(visited[w]==1){
//        return 1;
//    }
//	return 0;
//    
//
//}typedef int ElemType;
#include "顺序栈.h"int FirstAdjVex(AdjMatrix g,int v){int null=INFINITY;int n=g.vexnum;int i=1;for(;i<=n;i++){if(g.arcs[v][i]!=null){break;}}if(i>n){return -1;} else{return i;} }
int NextAdjVex(AdjMatrix g,int v,int w){int null=INFINITY;int n=g.vexnum;int i=w+1;for(;i<=n;i++){if(g.arcs[v][i]!=null){break;}}if(i>n){return -1;} else{return i;} }
//【算法 7-4】非递归深度优先搜索遍历连通子图
//从v0出发递归地深度优先搜索遍历连通子图
void DFS(AdjMatrix g,int v0){SeqStack *S=InitStack();int visited[MAXVEX]={0};//访问标志数组Push(S,v0);while(!Empty(S)){int v;Pop(S,&v);if(!visited[v]){visit(v);visited[v]=1;}int w=FirstAdjVex(g,v);//图g中顶点v的第一个邻接点 while(w!=-1){if(!visited[w]){Push(S,w);}w=NextAdjVex(g,v,w);//图g中顶点v的下一个邻接点}} 
} 

void main(){printf("创建\n");AdjMatrix* G=(AdjMatrix*)malloc(sizeof(AdjMatrix));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); Create(G);int v0=1;printf("从v0=%d开始DFS:\n",v0); DFSAdjMatrix(*G,v0);printf("\n");printf("DFS:\n"); TraverseG(*G);printf("\n"); //	visited[MAXVEX]={0};
//	int r=HasAPath(*G,1,2); 
//	printf("%d",r);printf("非递归DFS：\n");DFS(*G,1);printf("\n"); 	printf("打印\n");Printf(G);
} 

运行结果如下

非递归DFS

6-DFSAdjList.c

#include<stdio.h>
#include "4-邻接表plus.c" //去掉main()
void visit(int v0){printf("%d ",v0);
} //【算法 7-2】递归深度优先搜索遍历连通子图int visited[MAXVEX]={0};//设置标志数组 
//从v0出发递归地深度优先搜索遍历连通子图void DFSAdjList(AdjList g,int v0){visit(v0);visited[v0]=1;ArcNode* p=g.vertex[v0].head->next;while(p!=NULL){if(!visited[p->adjvex]){DFSAdjList(g,p->adjvex);			}p=p->next;}
}
//【算法 7-3】深度优先遍历图g 
void TraverseG(AdjList g){int v;for(v=1;v<=g.vexnum;v++){visited[v]=0;}for(v=1;v<=g.vexnum;v++){if(!visited[v]){DFSAdjList(g,v);}}
}typedef int ElemType;
#include "顺序栈.h"int FirstAdjVex(AdjList g,int v){ArcNode* h=g.vertex[v].head;ArcNode* p=h->next;if(p==NULL){return -1;}else{return p->adjvex;}}
int NextAdjVex(AdjList g,int v,int w){ArcNode* h=g.vertex[v].head;ArcNode* p=h->next;//找到之前的邻接点w while(p){if(p->adjvex==w){break;}p=p->next;}//找到w下一个邻接点p=p->next;if(p==NULL){return -1;}else{return p->adjvex;}	}
//【算法 7-4】非递归深度优先搜索遍历连通子图
//从v0出发递归地深度优先搜索遍历连通子图
void DFS(AdjList g,int v0){SeqStack *S=InitStack();int visited[MAXVEX]={0};//访问标志数组Push(S,v0);while(!Empty(S)){int v;Pop(S,&v);if(!visited[v]){visit(v);visited[v]=1;}int w=FirstAdjVex(g,v);//图g中顶点v的第一个邻接点 while(w!=-1){if(!visited[w]){Push(S,w);}w=NextAdjVex(g,v,w);//图g中顶点v的下一个邻接点}} 
} 

void main(){printf("创建\n");AdjList* G=(AdjList*)malloc(sizeof(AdjList));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); Create(G);printf("DFS:\n"); 
//	int v0=1;
//	DFSAdjMatrix(*G,v0);TraverseG(*G);printf("\n"); printf("非递归DFS:\n"); 	DFS(*G,1); printf("\n"); 	printf("打印\n");Printf(G);} 

运行结果如下

非递归DFS测试

7.4.2广度优先搜索遍历

图的广度优先搜索遍历类似于树的按层次遍历,其基本思想为从图中的某个顶点V₀出发，在访问此顶点之后依次访问V₀。的所有未被访问的邻接点,之后按这些邻接点被访问的先后次序依次访问它们的邻接点,直至图中所有和V₀有路径相通的顶点都被访问到。若此时图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未被访问的顶点作为新的出发点,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问到。

7-BFSAdjMatrix.c

#include<stdio.h>
#include "2-邻接矩阵plus.c" //去掉main()
#include "链队列.h" //去掉main()int visited[MAXVEX]={0};//设置标志数组 
//从v0出发递归地深度优先搜索遍历连通子图
void visit(int v0){printf("%d ",v0);
} 
//【算法7-5】广度优先搜索遍历连通子图
void BFSAdjMatrix(AdjMatrix g,int v0){int v; visit(v0);visited[v0]=1;LQueue *Q=Init_LQueue();InLQueue(Q,v0);//入队int vj; while(!Empty_LQueue(Q)){Out_LQueue(Q,&v);//出队//搜索图 if(g.t==1||g.t==2){for(vj=1;vj<=g.vexnum;vj++){if(visited[vj]==0&&g.arcs[v][vj]==1) {visit(vj);visited[vj]=1;InLQueue(Q,vj);}}} //搜索网if(g.t==3||g.t==4){for(vj=1;vj<=g.vexnum;vj++){if(visited[vj]==0&&g.arcs[v][vj]!=INFINITY) {visit(vj);visited[vj]=1;InLQueue(Q,vj); }}}  } }
//【算法7-6】广度优先遍历图g 
void TraverseG(AdjMatrix g){int v;for(v=1;v<=g.vexnum;v++){visited[v]=0;}for(v=1;v<=g.vexnum;v++){if(!visited[v]){BFSAdjMatrix(g,v);}}
}

void main(){printf("创建\n");AdjMatrix* G=(AdjMatrix*)malloc(sizeof(AdjMatrix));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); Create(G);printf("BFS:\n"); 
//	int v0=1;
//	BFSAdjMatrix(*G,v0);TraverseG(*G);printf("\n"); printf("打印\n");Printf(G);} 

8-BFSAdjList.c

#include<stdio.h>
#include "4-邻接表plus.c" 
#include "链队列.h" int visited[MAXVEX]={0};//设置标志数组 
//从v0出发递归地深度优先搜索遍历连通子图
void visit(int v0){printf("%d ",v0);
} 
//【算法 7-5】广度优先搜索遍历连通子图
void BFSAdjList(AdjList g,int v0){visit(v0);visited[v0]=1;LQueue *Q=Init_LQueue();InLQueue(Q,v0);//入队int v;while(!Empty_LQueue(Q)){Out_LQueue(Q,&v);//出队ArcNode* p=g.vertex[v].head->next;if(!visited[p->adjvex]){visit(p->adjvex);visited[p->adjvex]=1;}p=p->next;}
}
//【算法7-6】广度优先遍历图g 
void TraverseG(AdjList g){int v;for(v=1;v<=g.vexnum;v++){visited[v]=0;}for(v=1;v<=g.vexnum;v++){if(!visited[v]){BFSAdjList(g,v);}}
}

void main(){printf("创建\n");AdjList* G=(AdjList*)malloc(sizeof(AdjList));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); Create(G);printf("BFS:\n"); 
//	int v0=1;
//	BFSAdjList(*G,v0);TraverseG(*G);printf("\n"); printf("打印\n");Printf(G);} 

运行结果如下

7.5图的应用

7.5.1最小生成树

图G的生成树是指该图的一个极小连通子图,含有图中的全部n个顶点,但只有足以构成
棵树的n-1条边。显然,生成树不唯一,可能有多棵。
在一个连通网的所有生成树中,选中的n-1条边权值(代价)之和最小的生成树被称为该连通网的“最小代价生成树"(minimum-cost spanning tree,MST)。
MST性质:设图G=<V,R>是一个带权的连通图,即连通网,集合U是顶点集V的一个非空
子集。构建生成树时需要一条边连通顶点集合U和V-U。如果(u,v)∈R,其中,u∈U,v∈V-U,且边(u，v)是具有最小权值的一条边,那么一定存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
1.Prim算法（加点法）
适用于稠密图
基本思想:从连通网络N={v,E}中的某一顶点u出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u₀,v),将其顶点加人生成树的顶点集合U。以后每一步从一个顶点在U中,而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u,v),把它的顶点加人集合U中,这意味着(u,v)也加入生成树的边集合。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入生成树的顶点集合U中为止。

具体地，记N是连通网的顶点集,U是求得生成树的顶点集,TE是求得生成树的边集
①开始时,U={U₀}TE=∅。
②修正U到其余顶点N-U的最小权值,将具有最小权值的边纳入TE,对应的顶点纳入U。
③重复②直到U=N。
经过上述步骤,TE中包含了G中的n-1条边,此时选取到的所有顶点及边恰好就构成了G的一棵最小生成树。

9-Prim.c

#include<stdio.h>
#include "2-邻接矩阵plus.c"
typedef int VertexData;
int LocateVertex(AdjMatrix gn,VertexData u){int i;for(i=1;i<=gn.vexnum;i++){if(gn.vex[i]==u){return i;}}
}//【7-7】Prim算法求得最小生成树 
void Prim(AdjMatrix gn,VertexData u){struct{int adjvex;int lowcost;}closedge[MAXVEX];int k;k=LocateVertex(gn,u);closedge[k].lowcost=0;int i;for(i=1;i<=gn.vexnum;i++){if(i!=k){closedge[i].adjvex=u;closedge[i].lowcost=gn.arcs[k][i];}}int k0,u0,v0,e;for(e=1;e<=gn.vexnum-1;e++){//选择最小权值的边 int m,min=INFINITY;for(k=1;k<=gn.vexnum;k++){if(closedge[k].lowcost!=0&&closedge[k].lowcost<min){m=k;min=closedge[k].lowcost;}} 
//		k0=Minium(closedge);k0=m;u0=closedge[k0].adjvex;v0=gn.vex[k0];printf("第%d条边:%d--%d--%d\n ",e,u0,min,v0);closedge[k0].lowcost=0;for(i=1;i<=gn.vexnum;i++){if(gn.arcs[k0][i]<closedge[i].lowcost){closedge[i].lowcost=gn.arcs[k0][i];closedge[i].adjvex=v0;}}}
}

int main(){printf("创建\n");AdjMatrix* G=(AdjMatrix*)malloc(sizeof(AdjMatrix));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); Create(G);printf("最小生成树\n");VertexData u=1;Prim(*G,u);printf("打印\n");Printf(G);
}

运行结果如下

说明

最小生成树
每两个代表生成树一个边的两个顶点
4 7 可以改成7 10也是对的

2.Kruskal算法（加边法）
适用于稀疏图
Kruskal算法使用的贪心准则是,从剩下的边中选择不会产生环路且具最小权值的边加人生成树的边集。
基本思想:先构造一个只含n个顶点的子图SG,然后从权值最小的边
开始,若它的添加不使SG中产生回路,则在SG上加入该边,依次按照权值通增的次序,选择合适的边进行添加，如此重复，直至加完n-1条边为止。

7.5.2 拓扑排序

假设以有向图表示个工程的施工图或程序的数据流图,每个顶点代表一个活动,弧<v_i，v_j)表示活动必须先于活动j进行。我们将顶点表示活动、弧表示活动间优先关系的有向无“顶点表示活动的网”,简称"AOV-网"(activity on vertex),图中不允许出现回路。

对于一个AOV-网,若存在满足以下性质的一个线性序列,则这个线性序列称为“拓扑序列”。
①网中的所有顶点都在该序列中。
②若顶点_i到顶点V_j存在一条路径,则在线性序列中，V_i一定排在V_j之前。
构造拓扑序列的操作称为“拓扑排序”。实际上,拓扑排序就是离散数学中由某个集合上一个偏序得到该集合上的一个全序的操作。

那么,对于一个AOV-网来说,如何求得拓扑序列呢?其方法如下。
①从有向图中选取一个没有前驱的顶点并输出之。
②从有向图中删去该顶点以及所有以它为尾的弧。
③重复上述两步,直至图空(不存在回路),或者图不空但找不到无前驱的顶点为止(存在 回路)。可见,拓扑排序可以检查有向图中是否存在回路。

相关代码请看配套资源

10-拓扑排序.c

#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>
#include "4-邻接表plus.c"
#include "链队列.h"//【算法7-8】获取图中每个顶点入度值】 
void FindID(AdjList G, int indegree[MAXVEX]) {// 格个顶点的人度值int i;ArcNode *p;for(i=1;i<=G.vexnum;i++){indegree[i]=0;  //初始化indegree数组  }for(i=1;i<=G.vexnum;i++){p=G.vertex[i].head->next;  while(p!=NULL){indegree[p->adjvex]++; p=p->next;}}	
}//【算法7-9】 拓扑排序
int TopoSort (AdjList G){LQueue *Q;/*队列*/int indegree[MAXVEX]={0};int i, count, k;ArcNode *p;FindID(G,indegree);Q=Init_LQueue();for(i=1;i<=G.vexnum;i++){if(indegree[i]==0){InLQueue(Q,i);}}	count=0;while(!Empty_LQueue(Q)){Out_LQueue(Q,&i);printf("%c ",G.vertex[i].vexdata);  count++;p=G.vertex[i].head->next;while(p!=NULL){k=p->adjvex;indegree[k]--;if(indegree[k]==0) {InLQueue(Q,k);  }p=p->next;}}if (count<G.vexnum) return 0;else return 1;}

void main(){AdjList* G=(AdjList*)malloc(sizeof(AdjList));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); 	Create(G);printf("\n");	printf("拓扑排序");
//	int indegree[MAXVEX];
//	FindID(*G,indegree);
//	int i;
//	for(i=1;i<=G->vexnum;i++){
//		printf("%d ",indegree[i]);
//	}TopoSort(*G);printf("\n");Printf(G);
}

运行结果如下

7.5.3关键路径

略

7.5.4最短路径

1.单元最短路径
DIjkstra算法

11-单源最短路径.c

#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>
#include "2-邻接矩阵plus.c" 
//【算法7-11】采用Dijkstra算法求得从源点到其余各顶点的最短路径
void Dijkstra(AdjMatrix *G,int start,int end,int dist[],int path[][MAXVEX]){//dist数组记录各条最短路径长度，path数组记录对应路径上的各顶点	int mindist,i,j,k,t=1;for(i=1;i<=G->vexnum;i++){	 //初始化dist[i]=G->arcs[start][i];if(G->arcs[start][i]!=INFINITY){	 path[i][1]=start;} } path[start][0]=1;for(i=2;i<=G->vexnum;i++){ //寻找各条最短路径mindist=INFINITY;for(j=1;j<=G->vexnum;j++) { //选择最小权值的路径  if(!path[j][0]&&dist[j]<mindist){ 		k=j;mindist=dist[j];}}	if(mindist==INFINITY) return;path[k][0]=1;for(j=1;j<=G->vexnum;j++){ //修改路径			if(!path[j][0]&&G->arcs[k][j]<INFINITY&&dist[k]+ G->arcs[k][j]<dist[j]){dist[j]=dist[k]+G->arcs[k][j];t=1;while(path[k][t]!=0){  //记录最新的最短路径 path[j][t]=path[k][t];//伪代码 t++;} 			path[j][t]=k;path[j][t+1]=0;} }}}
void printPath(AdjMatrix *G,int start,int end,int dist[],int path[][MAXVEX]){int i,j;printf("从%d到其余顶点\n",start);for(i=1;i<=G->vexnum;i++){	if(i==start){printf("到本身顶点%d的最短路径长度为0\n",i);}else{
//			if(path[i][0]==1){printf("到顶点%d的最短路径长度为%d\n",i,dist[i]);printf("其路径为："); j=1;while(path[i][j]!=0) {printf("%d ",path[i][j]);j++;}printf("\n");
//			}else{
//				printf("无路径\n");
//			}}	}
}
void main(){printf("创建\n");AdjMatrix* G=(AdjMatrix*)malloc(sizeof(AdjMatrix));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); Create(G);printf("\n");int start=1;int end=2;int dist[G->vexnum+1];int path[G->vexnum+1][MAXVEX];Dijkstra(G,start,end,dist,path);	printPath(G,start,end,dist,path);printf("打印\n");Printf(G);
} 

运行结果

2.每对顶点之间的路径
Floyd算法

12-多源最短路径.c

#include<stdio.h> 
#include<stdlib.h>
#include "2-邻接矩阵plus.c" void printFP(int n,int F[][MAXVEX],int Path[MAXVEX][MAXVEX]){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j){printf("0\t");}else{printf("%d\t",F[i][j]);}}printf("\n");}
//	for (int i = 1; i <= n; i++) {
//        for (int j = 1; j <= n; j++) {
//        	printf("%d\t",Path[i][j]);
//        }
//        printf("\n");
//    }
}//【算法7-12】Floyd算法求得任意两顶点之间的最短路径
void Floyd(AdjMatrix g,int F[][MAXVEX],int Path[][MAXVEX]){int i,j,k;for(i=1;i<=g.vexnum;i++){for(j=1;j<=g.vexnum;j++) {F[i][j]=g.arcs[i][j];
//            if (F[i][j] != INFINITY) {
//                Path[i][j] = j; // 如果i和j之间有边，则Path[i][j]为j
//            } else {
//                Path[i][j] = -1; // 如果i和j之间没有边，则Path[i][j]为-1
//            }}} for(i=1;i<=g.vexnum;i++){ for(j=1;j<=g.vexnum;j++) { for(k=1;k<=g.vexnum;k++){ if(F[i][j]>F[i][k]+F[k][j]){F[i][j]=F[i][k]+F[k][j];
//					Path[i][j] = Path[i][k]; // 更新Path[i][j]为经过顶点k的路径}}}}}//void printPath(int i, int j, int Path[][MAXVEX]) {
//    if (Path[i][j] == -1) {
//        printf("%d ", i);
//    } else {
//        printPath(i, Path[i][j], Path);
//        printf("%d ", j);
//    }
//}

void main(){printf("创建\n");AdjMatrix* G=(AdjMatrix*)malloc(sizeof(AdjMatrix));printf("输入图的类型 ");printf("无向图(1) ");printf("有向图(2) ");printf("无向网(3) ");printf("有向网(4) ：");scanf("%d",&G->t); Create(G);printf("\n");printf("打印\n");Printf(G);printf("多源最短路径\n");	int n=G->vexnum;int F[n][n];int Path[n][n];Floyd(*G,F,Path);printFP(n,F,Path);//    for (int i = 1; i <= n; i++) {
//        for (int j = 1; j <= n; j++) {
//            if (i != j) {
//                printf("从顶点 %d 到顶点 %d 的最短路径为：", i, j);
//                printPath(i, j, Path);
//                printf("\n");
//            }
//        }
//    }
} 

运行结果

6实例分析与实现

略

7算法总结 贪心算法

略

习题7

3完成题 1 2 4 6

（1）对于图7-37所示的有向网:
①给出该图对应的邻接矩阵、邻接表和逆邻接表
②判断该图是否为强连通图,并给出其强连通分量
③给出每个顶点的度、人度和出度
④给出从顶点V,开始的深度优先搜索遍历序列和广度优先搜索遍历序列

略
(2)如图7-38所示的无向网,请给出分别按Prim(从顶点V₁开始)和Kruskal算法构造的最小生成树并给出构造过程。

略
(4)如图7-40所示的有向网,利用Dijkstra算法求顶点V₀到其他各顶点之间的最短路径以及最短路径长度

略
(6)对如图7-42所示的有向图进行拓扑排序,写出可能的3种拓扑序列。

略

4.算法设计题

（11)已知有向图以邻接表作为存储结构,编写算法判断该图中是否存在顶点V_i到顶点V_j,的简单路径,并输出该路径上的顶点。

略

最后

2023-11-6 17:51:52

2023-11-7 16:00:47
我们都有光明的未来
不必感谢我，也不必记得我

祝大家考研上岸
祝大家工作顺利
祝大家得偿所愿
祝大家如愿以偿
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