AM@定积分的定义求某些类型的极限

定积分定义求极限

• 容易从定积分的定义:${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$(1)看出,定积分是求和式$\lambda \to 0$时的极限

  • 这里$\lambda$是划分的小区间中最宽区间的宽度
  • 当$\lambda \to 0$,时$n\to \infty$,否则$\lambda \to 0$不成立

• 通常,利用定积分极限求解的问题时,划分积分区间时采用均分(等分)的方法,即被积分区域被$n$等分

• 定积分的计算和具体的区间分法和${\xi }_i$的选取无关,这里取最简单的分法:$n$等分区间$[a,b]$(积分区域为$[a,b]$)

• 则,$\Delta x_i$=$\frac{1}{n}(b-a)$,则$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$=$\frac{1}{n}(b-a)\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)$(2)

  • $b-a$是积分区间的跨度,比较灵活,因为一个定积分把它的积分曲线平移一定的位置,后,被积函数和积分区间同步变化,但积分结果不变

步骤

• 首先是通过提取$\frac{1}{n}$因子到求和是前面,就得到需要积分的函数$f$
  • 实际上无论是$n$等分,还是$2n$等分,都是提出$\frac{1}{n}$
  • $kn$等分之间的差别体现在积分区间上的不同
  • 而$\frac{b-a}{kn}$=$\frac{1}{n}$
• 另一个问题是如何确定$a,b$
  • 在定积分的定义中,我们划分了$n(n\to \infty )$个小区间,并且令最大的区间宽度为$\lambda$= max ⁡ { Δ x 1 , ⋯ , Δ x n } \max\set{\Delta{x_1},\cdots,\Delta{x_n}} max{Δx1​,⋯,Δxn​}
  • 当$\lambda \to 0$时,即有$n\to \infty$,积分区间$\Delta x_1\to a$;$\Delta x_n\to b$,(3)
    • 不妨设$x_1\in \Delta x_1$,$x_n\in \Delta x_n$,则$x_1\to a(n\to \infty )$,$x_2\to b(n\to \infty )$(4)

例

1. 例:$f(n)=n(\frac{1}{1+n^2}+\frac{1}{2^2+n^2}+\cdots +\frac{1}{n^2+n^2})$;求$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)$

   • $f(n)$中被求和各式的变化(差异)部分式从$1$变化到$n^2$,和不变部分的$n^2$是同阶的

   • $f(n)$=$n{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i^2+n^2}$=$\frac{1}{n}{n}^2{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i^2+n^2}$=$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{(\frac{i}{n}{)}^2+1}$(5),令$g(x)$=$\frac{1}{(\frac{i}{n}{)}^2+1}$(6)

   • 为了转化为定积分,观可(6)的含$n$的变化部分为$\frac{i}{n}$(7),对式(7)分别在$i=1$和$i=n$时求$n\to \infty$时的极限,可求得积分下限和上限分别为$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$;$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{n}{n})$=1

   • 将被求和式$g(x)$的变化部分$(\frac{i}{n})$替换为$x$,被积分的函数为$h(x)=\frac{1}{x^2+1}$,对应的定积分式为${\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x$=$\arctan x{|}_0^1$=$\frac{\pi }{4}$

2. 例:$f(n)={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{n^2}i\sin \frac{i}{n}$;$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=?$

   • 观察变化部分$\frac{i}{n}$从$i=1,\cdots ,n$,和分母$n$最终是同阶的,考虑使用定积分定义求极限
   • $f(n)$=$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{i}{n}\sin \frac{i}{n}$
   • 取$h(x)$=$x\sin x$,积分区间有$i=1,i=n$时$\frac{i}{n}$在$n\to \infty$时的极限取求得,分别为$0,1$
   • 从而被求极限等于${\int }_0^{1}x\sin x\mathrm{d}x$=$-{\int }_0^{1}x\mathrm{d}\cos x$=$-(x\cos x{|}_0^1-{\int }_0^1\cos x\mathrm{d}x)$=$\sin 1-\cos 1$

3. 例:若$f(n)={\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln (1+\frac{k}{n})$,$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=?$

   • 观察可尝试用定积分定义求该极限
   • 提取因子$\frac{1}{n}$到求和号前:$f(n)$=$\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n}\ln (1+\frac{k}{n})$
   • 令$h(x)=x\ln (1+x)$,积分区间如上述方法,可分别求得$0,1$
   • 所求极限为${\int }_0^{1}x\ln (1+x)\mathrm{d}x$=$\frac{1}{4}$
     • 这个积分的计算使用分部积分:$\frac{1}{2}(x^2\ln (1+x){|}_0^1-\int x^2\mathrm{d}(\ln (x+1)){|}_0^1)$=$\frac{1}{2}((\ln 2-0)-(\ln 2-\frac{1}{2}))$=$\frac{1}{4}$
     • 其中$\int x^2\mathrm{d}(\ln (x+1))$=$\int x^2\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x$=$\int (x^2-1+1)\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x$=$\int x-1+\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x$=$[\frac{1}{2}{x}^2-x+\ln |x+1|]$
     • $\int x^2\mathrm{d}(\ln (x+1)){|}_0^1$=$\ln 2-\frac{1}{2}$

4. $f(x)=\ln \sqrt[n]{(1+\frac{1}{n}{)}^2(1+\frac{2}{n}{)}^2\cdots (1+\frac{n}{n}{)}^2}$,$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=?$

   • $f(x)$=$\frac{1}{n}\ln (1+\frac{1}{n}{)}^2(1+\frac{2}{n}{)}^2\cdots (1+\frac{n}{n}{)}^2$=$\frac{2}{n}[\ln (1+\frac{1}{n})+\cdots +\ln (1+\frac{n}{n})]$=$\frac{2}{n}{\sum }_{i=1}^n\ln (1+\frac{i}{n})$=$2[\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\ln (1+\frac{i}{n})]$

     • $h(x)$=$\ln (1+x)$,积分区间为$i=1,n$下分别求$n\to \infty$时$\frac{i}{n}$极限得积分区间为$[0,1]$

     • $2{\int }_0^1\ln (1+x)\mathrm{d}x$=$2((1+x)\ln (1+x)-(x+1)){|}_0^1$=$4\ln 2-2$

     • 若令$x$替换$(1+\frac{i}{n})$,则被积函数变为$h_1(x)$=$\ln x$,积分区间为$[1,2]$结果为$2{\int }_1^2\ln x\mathrm{d}x$=$4\ln 2-2$,也正确

     • 实际上,${\int }_0^1\ln (1+x)\mathrm{d}x$=${\int }_1^2\ln x\mathrm{d}x$

       • 因为$\ln (1+x)$是由$\ln x$向左平移1个单位得到,所以积分区间也同时向左平移1个单位,从$[1,2]$移到$[0,1]$
       • 从而定积分的定义可知,两个曲边梯形面积相等,积分也就相同

5. $f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}$,$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=?$

   • ${\int }_0^1\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x$=$\ln |x+1|{|}_0^1$=$\ln 2$
   • 事实上,$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+(n-1)}$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+(n-1)}+\frac{1}{n+n}$
     • 因为我们可以通过添项,使得其变为$n$项(或$kn$项),因为$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+n}=0$,对于极限而言添加这样的项不影响结果

6. $f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+2n}$,$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=?$

   • $f(n)$=${\sum }_{i=1}^{2n}\frac{1}{n+i}$=$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$
   • ${\int }_0^2\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x$=$\ln 3$或${\int }_1^3\frac{1}{x}\mathrm{d}x$=$\ln 3$
     • Note:关于区间$\frac{2-0}{2n}$=$\frac{3-1}{2n}$=$\frac{1}{n}$

定积分表示为极限

• 设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续,则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$=$S$和下列求和式的当$n\to \infty$时的极限的关系?

  • $f_1(x)$=${\sum }_{k=1}^{n}f(\frac{2k-1}{2n})\frac{1}{2n}$
  • $f_2(x)$=${\sum }_{k=1}^{n}f(\frac{2k-1}{2n})\frac{1}{n}$
  • $f_3(x)$=${\sum }_{k=1}^{2n}f(\frac{k-1}{2n})\frac{1}{n}$
  • $f_4(x)$=${\sum }_{k=1}^{2n}f(\frac{k}{2n})\frac{2}{n}$

• 分析

  • 由定积分的定义:S=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$
  • 假设区间划分采用$n$等分的策略,$\Delta x_i$=$\frac{1}{n}(1-0)$=$\frac{1}{n}$(1),第$k$个区间表示为$K_1=[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$
  • 也可以采用$kn$等分,例如$2n$等分,$S$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{2n}f({\xi }_i)\Delta x_i$,此时$\Delta x_i$=$\frac{1}{2n}$(2),第$k$个区间表示为$K_2=[\frac{k-1}{2n},\frac{k}{2n}]$
  • $f_1(x),f_2(x)$都是$n$等分;$f_3(x),f_4(x)$都是$2n$等分
  • $f_4(x)$的极限都不为$S$,实际上$f_4(x)$=$4{\sum }_{k=1}^{2n}f(\frac{k}{2n})\frac{1}{2n}$,$f_4(x)\to 4S(n\to \infty )$,其中$\frac{k}{2n}\in K_2$
  • $\frac{k-1}{2n}\in K_2$,$f_3(x)$=$2{\sum }_{k=1}^{2n}f(\frac{k-1}{2n})\frac{1}{2n}$,$f_3(x)\to 2S(n\to \infty )$
  • 对于$f_2(x)$,$\frac{2k-1}{2n}\in K_1$,对应的积分区间:$k=1,n$时,积分限分别为$0,1$,被积函数为$f(x)$,因此$f_2(x)\to S(n\to \infty )$
  • $f_1(x)=\frac{1}{2}{f}_2(x)$,$f_1(x)\to \frac{1}{2}S(n\to \infty )$

• 如果作为选择题,题干涉及的函数时一般(任意函数),非常推荐可用特例函数排除法,检测各个选项是否满足$f_i(x)\to S(n\to \infty )$,不满足的排除(对于满足的选项只能说可能是正确的,但如果能够排除3个,那么剩下的一个就是对的),另一方面可以取不知一个特例尝试

  • 令$f(x)\equiv 1$,是满足要求的简单函数,此时$S=1$,依次检查4个选项,可以发现$f_1(x),f_3(x),f_4(x)$(极限分别为$\frac{1}{2},2,4$),仅$f_2(x)\to 1$

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