acwing算法基础之数学知识--求数a的欧拉函数值phi(a)

1 基础知识

数a的欧拉函数$\varphi (a)$：表示1~n中与n互质的数的个数。其中两个数互质，是指这两个数的最大公约数为1。

根据定义，我们可以写出如下方法，

int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;
}int phi(int a) {int res = 0;for (int i = 1; i <= a; ++i) {if (gcd(i, a) == 1) {res += 1;}}return res;
}

但存在更快的求解方法，见如下关键步骤：

1. 对数a进行分解质因子操作。
   $$a=p_1^{{\alpha }_1}\cdot p_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$$

unordered_map<int,int> get_prime_divisors(int a) {unordered_map<int,int> mp;for (int i = 2; i <= a / i; ++i) {if (a % i == 0) {int s = 0;while (a % i == 0) {a /= i;s++;}mp[i] = s;}}if (a > 1) mp[a] = 1;return mp;
}

2. 计算数a的欧拉函数，
   $$\varphi (a)=a\cdot (1-\frac{1}{p_1})\cdot (1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$$

int phi(int a, unordered_map<int,int> mp) {int res = a;for (auto [x, y] : mp) {res = res / x * (x - 1);}return res;
} 

可以将以上两步合并，请看如下代码，

int phi(int a) {int res = a;for (int i = 2; i <= a / i; ++i) {if (a % i == 0) {res = res / i * (i - 1);while (a % i == 0) {a /= i;}}}if (a > 1) {res = res / a * (a - 1);}return res;
}

2 模板

int phi(int x)
{int res = x;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){res = res / i * (i - 1);while (x % i == 0) x /= i;}if (x > 1) res = res / x * (x - 1);return res;
}

3 工程化

题目1：输入n个数，请分别求出它们的欧拉函数值。

#include <iostream>using namespace std;int main() {int n;cin >> n;while (n--) {int x;cin >> x;int res = x;for (int i = 2; i <= x / i; ++i) {if (x % i == 0) {res = res / i * (i - 1);while (x % i == 0) x /= i;}}if (x > 1) res = res / x * (x - 1);cout << res << endl;}return 0;
}