【数据结构】线段树(点修区查)
数据结构-线段树(点修区查)
前置知识
- 分治
- 递归
- 二叉树
思路
我们需要维护一个支持单点修改,区间查询的数据结构,并且要求在线,一般使用线段树解决。
线段树是一个二叉树形的数据结构。
线段树的思想很简单,就是将每个区间分治,构成一个树形结构,从而达到了 log n \log n logn 的时间复杂度。
以下是一个维护最小值的线段树。
具体实现也很简单,如下:
- 建树( build \text{build} build)
从根节点向下遍历,叶节点自更新,非叶节点使用儿子节点更新( pushup \text{pushup} pushup) - 更新( update \text{update} update)
从根节点向下遍历,类似二分查找查找至叶结点,叶节点自更新,非叶节点使用儿子节点更新( pushup \text{pushup} pushup) - 查询( query \text{query} query)
从根节点向下遍历,将区间分治到多个节点上,合并答案。如区间 [ 2 , 6 ] = [ 2 , 3 ] + [ 4 , 5 ] + [ 6 , 6 ] [2,6]=[2,3]+[4,5]+[6,6] [2,6]=[2,3]+[4,5]+[6,6],为节点 5 , 6 , 14 5,6,14 5,6,14 处的答案合并而来。
数据结构参数
- 时间复杂度: O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)
- 空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
实现代码
以最小值线段树为例。
int t[MAXN*4];
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
void pushup(int p){t[p]=min(t[ls],t[rs]);
}
void build(int p,int l,int r){if (l==r){t[p]=a[l];return;}int mid=l+r>>1;build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);pushup(p);
}
void update(int p,int l,int r,int x,int y){if (l==r){t[p]=y;return;}int mid=l+r>>1;if (x<=mid) update(ls,l,mid,x,y);else update(rs,mid+1,r,x,y);pushup(p);
}
int query(int p,int l,int r,int x,int y){if (x<=l&&r<=y) return t[p];int mid=l+r>>1,ans=0x3f3f3f3f;if (x<=l) ans=min(ans,query(ls,l,mid,x,y));else ans=min(ans,query(rs,mid+1,r,x,y));return ans;
}
练习
- 洛谷【模板】树状数组 1
- 洛谷【模板】树状数组 2
因为这个版本的线段树和树状数组差不多。。。
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