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测不准原理

news 2025/12/20 12:56:19
  • 测不准原理

\begin{matrix} |\Psi>=\sum_n|\psi_n><\psi_n|\Psi>\\ =\sum_nc_n|\psi>\\ c_n=<\psi_n|\Psi>\\ =\int \psi_n^* \Psi dx \end{matrix}

算符的对易关系

  • commutation relation [\hat{A},\hat{B}]\equiv \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}

\begin{matrix} [r_a,p_a]=i\hbar\\ [r_a,p_b]=0\\ [p_a,p_b]=0\\ \end{matrix}

\begin{matrix} [L_x,L_y]=i\hbar L_z\\ [L_y,L_z]=i\hbar L_x\\ [L_z,L_z]=i\hbar L_y\\ \end{matrix}

\begin{matrix} [L_x,y]=i\hbar z\\ [L_y,z]=i\hbar x\\ [L_z,x]=i\hbar y\\ \end{matrix}

\begin{matrix} [L_x,z]=-i\hbar y\\ [L_y,x]=-i\hbar z\\ [L_z,y]=-i\hbar x\\ \end{matrix}

[L_i,r_i]=0

[L^2,L_x]=[L^2,L_y]=[L^2,L_z]=0

测不准原理的矢量推导

Schwarz inequality:|\langle\psi|\phi\rangle|^2\leq \langle\psi|\psi\rangle\langle\phi|\phi\rangle

设对易关系：AB-BA=iC

设一个新态：|\phi\rangle=(A+i\lambda B)|\psi\rangle

投影：\langle\psi|\phi\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle+i\lambda\langle\psi|B|\psi\rangle=\langle A\rangle+i\lambda \langle B\rangle

那么有：|\langle\psi|\phi\rangle|^2=\langle A\rangle^2+\lambda^2\langle B\rangle^2

\langle\phi|\phi\rangle=\langle\psi|(A^+-i\lambda B^+)(A+i\lambda B)\psi\rangle=\langle A^2\rangle+\lambda^2\langle B^2\rangle-\lambda\langle C\rangle

代回Schwarz inequality 即可证明：\Delta A\Delta B\geq \frac{\langle C\rangle}{2}

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