动态规划(以背包问题为例)

1) 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出

2) 要求装入的物品不能重复

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• 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。

• 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

• 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。

• 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

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背包问题的代码实现思路：

算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 val[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。

即对于给定的 n 个物品，设 val[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，m 为背包的容量。再令 v[i][j]

表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0

(2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个

单元格的装入策略

(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], val[i]+v[i-1][j-w[i]]}

// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,

// 装入的方式:

v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值

v[i] : 表示当前商品的价值

v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值

当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :9

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代码实现：

public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) {int[] w = { 1, 4, 3 };// 物品的重量int[] val = { 1500, 3000, 2000 };// 物品的价值int m = 4;// 背包的容量int n = val.length;// 物品的个数// 创建二维数组// v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值int[][] v = new int[n + 1][m + 1];// 为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组int[][] path = new int[n + 1][m + 1];// 初始化第一行和第一列for (int i = 0; i < v.length; i++) {v[i][0] = 0;// 将第一列设置为0}for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {v[0][i] = 0;// 将第一行设置为0}// 根据前面得到的公式来动态规划处理for (int i = 1; i < v.length; i++) {// 不处理第一行for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {// 不处理第一列// 套用总结公式if (w[i - 1] > j) {v[i][j] = v[i - 1][j];} else {// v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);// 为了记录商品存放到背包的情况，我们不能简单的使用上面的公式，需要使用if-else来体现if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];// 把当前情况记录到pathpath[i][j] = 1;} else {v[i][j] = v[i - 1][j];}}}}// 输出一下v 看看目前的情况for (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {System.out.print(v[i][j] + " ");}System.out.println();}System.out.println("*****************************************");// 输出最后我们放入哪些商品// 遍历path,这样输出会把所有的放入情况都得到，其实我们只需要最后的放入// for (int i = 0; i < path.length; i++) {// for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {// if(path[i][j] == 1) {// System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);// }// }// }int i = path.length - 1;// 行的最大小标int j = path[0].length - 1;// 列的最大下标while (i > 0 && j > 0) {// 从path的最后开始找if (path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);j -= w[i - 1];}i--;}}
}