【算法挨揍日记】day30——300. 最长递增子序列、376. 摆动序列

 300. 最长递增子序列

300. 最长递增子序列

题目解析：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

解题思路：、

1. 状态表⽰：

对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：

i. 以某个位置为结尾，巴拉巴拉；

ii. 以某个位置为起点，巴拉巴拉。

这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：

dp[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的「所有⼦序列」中，最⻓递增⼦序列的⻓度。

2. 状态转移⽅程：

对于 dp[i] ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：

i. ⼦序列⻓度为 1 ：只能⾃⼰玩了，此时 dp[i] = 1 ；

ii. ⼦序列⻓度⼤于 1 ： nums[i] 可以跟在前⾯任何⼀个数后⾯形成⼦序列。

设前⾯的某⼀个数的下标为 j ，其中 0 <= j <= i - 1 。

只要 nums[j] < nums[i] ， i 位置元素跟在 j 元素后⾯就可以形成递增序列，⻓度

为 dp[j] + 1 。

因此，我们仅需找到满⾜要求的最⼤的 dp[j] + 1 即可。

综上， dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]) ，其中 0 <= j <= i - 1 && nums[j]

< nums[i] 。

3. 初始化：

所有的元素「单独」都能构成⼀个递增⼦序列，因此可以将 dp 表内所有元素初始化为 1 。

由于⽤到前⾯的状态，因此我们循环的时候从第⼆个位置开始即可。

4. 填表顺序：

显⽽易⻅，填表顺序「从左往右」。

5. 返回值：

由于不知道最⻓递增⼦序列以谁结尾，因此返回 dp 表⾥⾯的「最⼤值」。

 解题代码：

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<int>dp(n,1);for(int i=1;i<n;i++){for(int j =0;j<i;j++){if(nums[j]<nums[i])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}}int ret=0;for(int i=0;i<n;i++)ret=max(ret,dp[i]);return ret;}
};

 376. 摆动序列

376. 摆动序列

题目描述：

如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 摆动序列 。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。

• 例如， [1, 7, 4, 9, 2, 5] 是一个 摆动序列 ，因为差值 (6, -3, 5, -7, 3) 是正负交替出现的。

• 相反，[1, 4, 7, 2, 5] 和 [1, 7, 4, 5, 5] 不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。

子序列 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中作为 摆动序列 的 最长子序列的长度 。

 解题思路：

1. 状态表⽰：

对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：

i. 以某个位置为结尾，巴拉巴拉；

ii. 以某个位置为起点，巴拉巴拉。

这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：

dp[i] 表⽰「以 i 位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度」。

但是，问题来了，如果状态表⽰这样定义的话，以 i 位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度我们没法

从之前的状态推导出来。因为我们不知道前⼀个最⻓摆动序列的结尾处是递增的，还是递减的。因

此，我们需要状态表⽰能表⽰多⼀点的信息：要能让我们知道这⼀个最⻓摆动序列的结尾是递增的

还是递减的。

解决的⽅式很简单：搞两个 dp 表就好了。

f[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「上升趋势」的最⻓摆

动序列的⻓度；

g[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「下降趋势」的最⻓摆

动序列的⻓度。

2. 状态转移⽅程：

由于⼦序列的构成⽐较特殊， i 位置为结尾的⼦序列，前⼀个位置可以是 [0, i - 1] 的任意

位置，因此设 j 为 [0, i - 1] 区间内的某⼀个位置。

对于 f[i] ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：

i. ⼦序列⻓度为 1 ：只能⾃⼰玩了，此时 f[i] = 1 ；

ii. ⼦序列⻓度⼤于 1 ：因为结尾要呈现上升趋势，因此需要 nums[j] < nums[i] 。在满

⾜这个条件下， j 结尾需要呈现下降状态，最⻓的摆动序列就是 g[j] + 1 。

因此我们要找出所有满⾜条件下的最⼤的 g[j] + 1 。

综上， f[i] = max(g[j] + 1, f[i]) ，注意使⽤ g[j] 时需要判断。

对于 g[i] ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：

i. ⼦序列⻓度为 1 ：只能⾃⼰玩了，此时 g[i] = 1 ；

ii. ⼦序列⻓度⼤于 1 ：因为结尾要呈现下降趋势，因此需要 nums[j] > nums[i] 。在满

⾜这个条件下， j 结尾需要呈现上升状态，因此最⻓的摆动序列就是 f[j] + 1 。

因此我们要找出所有满⾜条件下的最⼤的 f[j] + 1 。

综上， g[i] = max(f[j] + 1, g[i]) ，注意使⽤ f[j] 时需要判断。

3. 初始化：

所有的元素「单独」都能构成⼀个摆动序列，因此可以将 dp 表内所有元素初始化为 1 。

4. 填表顺序：

毫⽆疑问是「从左往右」。

5. 返回值：

应该返回「两个 dp 表⾥⾯的最⼤值」，我们可以在填表的时候，顺便更新⼀个「最⼤值」。

解题代码：

class Solution {
public:int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {int n=nums.size();if(n==1)return 1;if(n==2&&nums[0]!=nums[1])return 2;vector<int>f(n,1);vector<int>g(n,1);for(int i=1;i<n;i++){for(int j=0;j<i;j++){if(nums[i]>nums[j])f[i]=max(g[j]+1,f[i]);if(nums[i]<nums[j])g[i]=max(f[j]+1,g[i]);}}int ret=0;for(int i=0;i<n;i++)ret=max(ret,max(f[i],g[i]));return ret;}
};