常见立体几何图形的体积

abstract

• 锥体和球体的体积公式主要通过积分的方法推导
  • 这类公式的推导中学一般不要求,只要会应用公式
  • 在高等数学中由合适和方便的工具来推导这些公式
  • 而相关的衍生几何体例如台体体积,可以用割补法直接推导
• 而中学中一个重要原理是祖暅原理,利用该原理可以确定或间接得到许多几何体体积公式

祖暅原理

• 祖暅原理指出:幂势既同,则积不容异
  • 这句话是说,加载两个平行平面简的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若所截的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等
• 简单讲就是:若两物体在任意等高处的截面面积始终相等,则两个物体体积相等
  • 例如,取一摞纸对方在桌面上,将它们扭转一定的角度,得到一个不规则的体积,但我们知道,扭转前后这些纸构成的立体体积保持不变,因为高度保持不变,同一水平截面积相同,因此体积相同(祖暅原理)

推论

• 祖暅原理可以说明,等底面积,等高的两个柱体或锥体的体积相等

  • 因此,无论是直棱柱还是斜棱柱,当它们的底面积和高都分别相等,则体积也相等
  • 因此只要知道柱体的底面积和高就可以求出柱体体积

棱锥和圆锥的体积

• 在小学我们通过比较容积的方法,验证了圆锥的体积是等底面积,等高的圆柱体的$\frac{1}{3}$

• 事实上,用同样体积的三个三棱锥$V_1,V_2,V_3$能够补成一个三棱柱$V$(若$V_0$是斜棱锥,那么$V$是斜棱柱)

  • 三棱柱有6个顶点,上底面和下地面各3个点,使用的$V_1,V_2,V_3$存在相等的三角形面,例如$V_1,V_2$其中一个不含底面,拼接后得到5个顶点的多面体,再拼接$V_3$得到一个三棱柱
  • 这并不是说三棱柱都可以分割成完全相同的三个棱锥
  • 例如一个非常细长的三棱柱,则按对角线分割后,有上下底面的两个三棱锥完全相同,但是第三个明显与前者不同

• 再根据祖暅原理,可以说明三棱锥的体积是等面积,等高的三棱柱体积的三分之一

• 在此基础上,可以推出锥体体积的计算公式:若锥体(包括棱锥和圆锥)底面积为$S$,高为$h$,则体积$V=\frac{1}{3}Sh$(0)

用积分的方法推导

• 一个$n$棱锥可以通过分割转化为三棱锥问题

• 设,三棱锥的底面积为$S_0$,高为$h$

  • 设棱锥的高对应的线段,起点为棱锥顶点$A$,投影到底面$B$
  • 取$AB$上的一点$C$,记$h=AB,h^{\prime }=AC$,$k=\frac{AC}{AB}$=$\frac{h^{\prime }}{h}$(1),
    $k\in [0,1]$
  • 则过点$C$垂直于$AB$的平面截棱锥得到截面$S_1$=$k^2{S}_0$(2)
  • 将(1)代入(2),得$S_1=\frac{h^{\prime 2}}{h^2}{S}_0$(3),所以棱锥体积为${\int }_0^h{S}_1\mathrm{d}{h}^{\prime }$=${\int }_0^h\frac{h^{\prime 2}}{h^2}{S}_0\mathrm{d}{h}^{\prime }$=$\frac{S_0}{h^2}{\int }_0^h{h}^{\prime 2}\mathrm{d}{h}^{\prime }$=$\frac{S_0}{h^2}\cdot \frac{1}{3}{h}^{\prime 3}{|}_0^h$=$\frac{1}{3}{S}_{0}h$(4)

• 对于圆锥也是类似的

• 综上,我们有任意锥体公式,即式(0)

棱台和圆台的体积

• 棱台是由棱锥被一个平行于底面的平面截取一个锥体得到的立体图形,圆台类似
• 因此,台体的体可以用2个椎体的体积只差计算
  • 设棱台的上下底面面积分别为$S^{\prime },S$;而台体的高为$h$
  • 设台体由棱锥$V_1$被平面截取所得包含原底面的部分,而另一部分是包含顶点的锥体$V_2$,设其高度为$t$,则$V$的高度为$t+h$
  • 从而台体的体积$V=V_1-V_2$=$\frac{1}{3}S(t+h)-\frac{1}{3}{S}^{\prime }t$(5)
  • 而由几何平行于相似的知识可知若设$\frac{t}{t+h}$=$k$(6),$(k>0)$,则$\frac{S^{\prime }}{S}=k^2$(7),即$k=\sqrt{S^{\prime }/S}$(8)
  • 联立(7,8)可以求得$t$=$h(\frac{1}{1-\sqrt{S^{\prime }/S}}-1)$=$h\frac{S^{\prime }+\sqrt{S^{\prime }S}}{S-S^{\prime }}$(9)
  • 将(9)代入(5):
    • $\frac{1}{3}(St+Sh-S^{\prime }t)$=$\frac{1}{3}(Sh+(S-S^{\prime })t)$=$\frac{1}{3}(Sh+(S-S^{\prime })h\frac{S^{\prime }+\sqrt{S^{\prime }S}}{S-S^{\prime }})$=$\frac{1}{3}h(S+S^{\prime }+\sqrt{S^{\prime }S})$(10)
• 公式(10)就是台体的体积公式

圆台体积公式

• 当圆台的上下底面的半径分别为$r^{\prime },r$,高为$h$,则它的体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r^2+r{r}^{\prime }+r^{\prime 2})$

球体的体积

• 设球的半径为$R$,则其体积为$\frac{4}{3}\pi R^3$
  • 球体的体积可以基于牟合方盖和祖暅原理以及锥体体积公式得到
  • 但是过程较为繁琐,如果使用积分的方法,可以简单的推出这个公式
• 积分的方法推导
  • 球体可以理解为半圆旋转一周得到的立体图形
  • 在直角坐标系上做半径为$R$,圆心为原点的圆,并只取其在第一象限内的部分($\frac{1}{4}$圆),记为曲线$C$,$x^2+y^2=R^2$,即$y=\sqrt{R^2-x^2}$,$(x,y⩾0)$
  • 令$C$绕着$x$轴旋转一周,得到半球记为$V_0$,我们先求$V_0$的体积(仍然记为$V_0$)
  • 用空间平面$x=x_0$(垂直于$x$轴的平面)截取$V_0$的截面面积为$S(x)$=$\pi y^2$=$\pi (R^2-x^2)$
  • $V_0$=${\int }_0^{R}S(x)\mathrm{d}x$=$\pi {\int }_0^R{R}^2-x^2\mathrm{d}x$=$\pi (R^3-\frac{1}{3}{R}^3)$=$\frac{2}{3}\pi R^3$
  • 从而$V=2V_0$=$\frac{4}{3}\pi R^3$
• 事实上可以直接用旋转体积中绕$x$轴旋转的立体图形的体积公式:$V_0$=$\pi {\int }_0^R{y}^2\mathrm{d}x$=$\frac{2}{3}\pi R^3$
• 还可以借助三重积分(令积分区域为球,被积函数为1)在球坐标上的计算方法来求解球的体积$V$=${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\varphi {\int }_0^a(1r^2\sin \varphi )\mathrm{d}r$=${\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }\sin \varphi \mathrm{d}\varphi {\int }_0^{a}1r^2\mathrm{d}r$=$2\pi \cdot 2\cdot \frac{a^3}{3}$=$\frac{4}{3}\pi a^3$

球体的表面积

• 利用球体的体积和微积分思想,可以求出半径为$R$的球体的表面积为$4\pi R^2$

• 将球面微分成个$n(n\to \infty )$小区域,每个小区域边缘和球心连线近似为一个锥体,将求的表面积设为$S$,则$\frac{1}{3}SR$=$\frac{4}{3}\pi R^3$,解得$S=4\pi R^2$