LeetCode算法题解（动态规划，背包问题）|LeetCode1049. 最后一块石头的重量 II、LeetCode494. 目标和

一、LeetCode1049. 最后一块石头的重量 II

题目链接：1049. 最后一块石头的重量 II

题目描述：

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

算法分析：

定义dp数组及下标含义：

dp[j]:表示容量为j的背包所能装的物品最大价值（石头的重量）为dp[j]。

递推公式：

dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i])。

初始化：

dp[0]=0。

遍历顺序：

先遍历物品在遍历背包容量。

代码如下：

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int len = stones.length;int sum = 0;for(int i = 0; i < len; i++)sum += stones[i];int mid;mid = sum / 2;int[] dp = new int[mid + 1];for(int i = stones[0]; i <= mid; i++)dp[i] = stones[0];for(int i = 1; i < len; i++) {for(int j = mid; j >= stones[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);}}return sum - dp[mid] * 2;}
}

二、LeetCode494. 目标和

题目链接：494. 目标和

题目描述：

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

算法分析：

设添加+的元素集合总和为add，添加-的元素集合总和为des，则原数组的所有元素之和sum=add+des

由题意target=add-des；

des=add-target;

sum=add+(add-target);

add=(sum+target)/2;

所以我们只需要在原数组中找出和等于add的方法数就可以了。

于是我们可以用动态规划中背包思路来解。

定义dp数组及下标含义：

dp[j]表示元素和为j的方法有dp[j]种。

递推公式：

dp[j]+=dp[j-nums[i]]；

例如：若有元素1，2，3，4，5，6,则加上该元素后和为5的方法有dp[5]=dp[5-1]+dp[5-2]+dp[5-3]+dp[5-4]+dp[5-5]种(j>=nums[i])。

初始化：

我们初始化dp[0]=1;

表示元素和为0的方法有一种，因为如果为0的话那么所有的递推结果都将为0。

遍历顺序：

先遍历元素在遍历总和。

代码如下：

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int len = nums.length;int sum = 0;//数组总和for(int i = 0; i < len; i++)sum += nums[i];if(Math.abs(target) > sum) return 0;//如果target的绝对值大于sum，那么无论数组中所有元素都取正还是负都不肯能等于targetif((sum + target) % 2 != 0) return 0;//没有结果，如sum是5target是0的话，无解int add = (sum + target) / 2;int[] dp = new int[add + 1];dp[0] = 1;for(int i = 0; i < len; i++) {for(int j = add; j >= nums[i]; j--) {dp[j] += dp[j - nums[i]];}}return dp[add];}
}

总结

求背包问题时要明确定义dp数组所表示的含义，对于不同的问题可能会有不同的定义，

如1049. 最后一块石头的重量 II中，dp[j]表示容量为j的背包所能装的石头的重量最大为dp[j]。

而494. 目标和中dp[j]表示装满容量为j的方法有dp[j]种。