【线性代数与矩阵论】坐标变换与相似矩阵

坐标变换与相似矩阵

2023年11月4日
#algebra

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1. 基变换与坐标变换

坐标变换与基变换都要通过过渡矩阵 $A$ 来实现。设有一向量 $\vec{f}$ ，$x$ 是在基 $\alpha$ 下该向量的坐标，$y$ 是在新基 $\beta$ 下该向量的坐标，则基变换为：
$$\beta =\alpha A,A={\alpha }^{-1}\beta$$
式中的基也是矩阵。当原基 $\alpha =I$ ，过渡矩阵的每一列列向量相当于新的坐标轴的基向量。
坐标变换通过原坐标向量左乘过渡矩阵的逆得到，即：
$$y=A^{-1}x$$
而注意，矩阵在某组基下的表示意味着相似变换。如矩阵 $X$ 在基 $\beta$ 下的表示为 $Y$，意味着
$$X\beta =\beta Y,Y={\beta }^{-1}X\beta$$
相当于矩阵的坐标变换，原基相当于单位阵。如果 $X$ 又是矩阵 $F$ 在某组基 $\alpha$ 下的表示，则有
$$F\alpha =\alpha X,X={\alpha }^{-1}F\alpha$$
$$Y=({\alpha }^{-1}\beta {)}^{-1}F({\alpha }^{-1}\beta )=A^{-1}FA$$
$F$ 的基是单位阵。

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2. 相似变换

如果存在可逆矩阵 $P$ ，使得
$$B=P^{-1}AP$$
则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A\sim B$ ；并称 $P$ 为把 $A$ 变成B的相似变换矩阵。显然相似即等价。
相似变换与逆矩阵有关，相似变换前后的矩阵为相似矩阵。
性质如下

1. 反身性 $A\sim A$
2. 对称性 $A\sim B\to B\sim A$
3. 传递性 $A\sim B,B\sim C\to A\sim C$

几条定理，若 $A\sim B$

1. $\text{rank}(A)=\text{rank}(B),|A|=|B|$
2. $\det (\lambda I-A)=\det (\lambda I-B)$，即特征相同
3. $A^{-1}\sim B^{-1},A^{\mathrm{T}}\sim B^{\mathrm{T}},f(A)\sim f(B)$

说明

• 相似对角化 如果 $A_n$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量（特征值可以相同），则相似变换可以把 $A$ 变成对角阵
• 实对称矩阵 $A$ 可以相似对角化，$\text{rank}(A)$ 等于非零特征值的个数
• 上/下三角矩阵主对角线元素相同则不能相似对角化
• $n$ 阶方阵 $A$ 满足的二次方程有两个互异实根，则因式分解后秩的和为 $n$ ，且 $A$ 可相似对角化
  证明
  $$A^2-3A+2I=0\to (A-I)(A-2I)=0$$
  $$\therefore \text{rank}(A-I)+\text{rank}(A-2I)\le n$$
  $$\text{又}\text{rank}(A-I)+\text{rank}(A-2I)\ge \text{rank}(A-I+2I-A)=\text{rank}(I)=n$$
  $$\therefore \text{rank}(A-I)+\text{rank}(A-2I)=n$$
  $A$ 的线性无关特征向量的个数为
  $$n-\text{rank}(A-I)+n-\text{rank}(A-2I)=2n-n=n$$
• 相似没有充要条件，有充分条件（矩阵有相同的相似对角化矩阵），也有必要条件（相似则1. 特征值相同 2. 秩相同）。如果特征值相同，而两个矩阵都不可对角化且秩相同，则不能判断矩阵是否相似。

使用相似变换求解LTI微分方程：

[!example]-
$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_1=x_2\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_2=x_3\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_3=-6x_1-11x_2-6x_3\end{array}$$
解：
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -6& -11& -6\end{array}\right],\det (\lambda I-A)=(\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)$$
有三个不同的特征值， $A$ 可对角化。分别解 $({\lambda }_{k}I-A)x=0,k=1,2,3$，得变换矩阵
$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& -2& -3\\ 1& 4& 9\end{array}\right]$$
$$D=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -3\end{array}\right]$$
由于 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x=Ax$，令 $x=Py$，有
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=P^{-1}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=P^{-1}Ax=P^{-1}APy=Dy=\left[\begin{array}{c}-y_1\\ -2y_2\\ -3y_3\end{array}\right]$$
$$y_1^{\prime }(t)=-y_1,y_2^{\prime }(t)=-2y_2,y_3^{\prime }(t)=-3y_3$$
$$y_1(t)=c_1{e}^{-t},y_2(t)=c_2{e}^{-2t},y_3(t)=c_3{e}^{-3t}$$
$$x=Py=\left[\begin{array}{c}{c}_1{e}^{-t}+c_2{e}^{-2t}+c_3{e}^{-3t}\\ -c_1{e}^{-t}-2c_2{e}^{-2t}-3c_3{e}^{-3t}\\ c_1{e}^{-t}+4c_2{e}^{-2t}+9c_3{e}^{-3t}\end{array}\right]$$

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下链

矩阵论 武汉理工大学 （亲测最好的矩阵论视频）

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