【青蛙跳台阶问题 —— (三种算法）】

一.题目介绍

1.1.题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：
输入：n = 2
输出：2

示例 2：
输入：n = 7
输出：21

示例 3：
输入：n = 0
输出：1

提示：
0 <= n <= 100

1.2.图示

二.解题思路

此类求多少种可能性 的题目一般都有递推性质 ，即 f(n)和 f(n-1)…f(1)之间是有联系的。
设跳上 n级台阶有 f(n)种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上1级或 2级台阶。
当为 1级台阶： 剩 n-1个台阶，此情况共有 f(n-1)种跳法；
当为 2级台阶： 剩 n-2个台阶，此情况共有 f(n-2)种跳法。
f(n)为以上两种情况之和，即 f(n)=f(n-1)+f(n-2)，以上递推性质为斐波那契数列。本题可转化为求斐波那契数列第 n项的值 ，与斐波那契数列等价，唯一的不同在于起始数字不同。
青蛙跳台阶问题： f(0)=1 , f(1)=1, f(2)=2；
斐波那契数列问题： f(0)=0 , f(1)=1, f(2)=1。

三.题解及其相关算法

斐波那契数列的定义是 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)，生成第n项的做法有以下几种：

3.1.递归分治法

递归分治法：
原理： 把 f(n)问题的计算拆分成 f(n-1)和 f(n-2)两个子问题的计算，并递归，以 f(0)和 f(1)为终止条件。
缺点： 大量重复的递归计算，例如 f(n)和 f(n - 1)两者向下递归都需要计算 f(n - 2)的值。
这个程序的时间复杂度为 O(2^n)，因为我们需要递归地计算从 1 到 n 的所有整数的和。在输入的楼梯数较大时，程序可能会运行超时。

#include <stdio.h>int climbStairs(int n) {int con=(int)1e9 + 7;if (n == 1) {return 1;}else if (n == 2) {return 2;}else {return climbStairs(n - 1)%con + climbStairs(n - 2)%con;}
}int main() {int n;printf("请输入楼梯的阶数：");scanf("%d", &n);int ways = climbStairs(n);printf("%d 阶楼梯一共有 %d 种跳法。\n", n, ways);return 0;
}

3.2.动态规划算法（Dynamic Programming）

动态规划算法（Dynamic Programming）（记忆化递归法）：
动态规划： 是一种用于解决多阶段决策问题的算法，它通过将问题分解为更小的子问题，并通过存储已经解决的子问题的结果来避免重复计算。
原理： 在递归法的基础上，新建一个长度为 n的数组，用于在递归时存储 f(0)至 f(n)的数字值，重复遇到某数字时则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。
缺点： 记忆化存储的数组需要使用 O(N)的额外空间。

#define MAX 100
int ClimbStairs(int number)
{int con = (int)1e9 + 7;if (number == 1)return 1;else if (number == 2)return 2;else{int dp[MAX];dp[1] = 1;dp[2] = 2;int i = 0;for (i = 3; i <= number; i++){dp[i] = dp[i - 1] % con + dp[i - 2] % con;}return dp[number];}
}int main() {int n;printf("请输入楼梯的阶数：");scanf("%d", &n);int ways = climbStairs(n);printf("%d 阶楼梯一共有 %d 种跳法。\n", n, ways);return 0;
}

3.3.斐波那契数列法

斐波那契数列法：
原理： 以斐波那契数列性质 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)为转移方程。
从计算效率、空间复杂度上看，斐波那契数列法是本题的最佳解法。

int fbnq(int n)
{int con = (int)1e9 + 7;int first = 0;int second = 1;int tem = 0;while (n--){tem = first + second;first = second % con;second = tem % con;}return first;
}
int ClimbStairs(int n) {return fbnq(n + 1);
}
int main() {int n;printf("请输入楼梯的阶数：");scanf("%d", &n);int ways = ClimbStairs(n);printf("%d 阶楼梯一共有 %d 种跳法。\n", n, ways);return 0;
}

四.注意细节

为什么要模1000000007。
参考：https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.liuchuo.net/archives/645
大数相乘，大数的排列组合等为什么要取模
一、1000000007是一个质数（素数），对质数取余能最大程度避免结果冲突/重复
二、int32位的最大值为2147483647，所以对于int32位来说1000000007足够大。int64位的最大值为2^63-1，用最大值模1000000007的结果求平方，不会在int64中溢出。
所以在大数相乘问题中，因为(a∗b)%c=((a%c)∗(b%c))%c，所以相乘时两边都对1000000007取模，再保存在int64里面不会溢出。
这道题为什么要取模，取模前后的值不就变了吗？
确实：取模前 f(43) = 701408733, f(44) = 1134903170, f(45) = 1836311903, 但是 f(46) > 2147483647结果就溢出了。
取模后 f(43) = 701408733, f(44) = 134903163 , f(45) = 836311896, f(46) = 971215059没有溢出。取模之后能够计算更多的情况，如 f(46)。这道题的测试答案与取模后的结果一致。

总结一下，这道题要模1000000007的根本原因是标准答案取模了1000000007。不过大数情况下为了防止溢出，模1000000007是通用做法，原因见第一点。