多元排列熵 Multivariate Permutation Entropy

熵(Entropy)

信息论中熵的概念首次被香农提出，目的是寻找一种高效/无损地编码信息的方法：以编码后数据的平均长度来衡量高效性，平均长度越小越高效；同时还需满足“无损”的条件，即编码后不能有原始信息的丢失。这样，香农提出了熵的定义：无损编码事件信息的最小平均编码长度。

香农信息熵 Shannon entropy

香农信息熵是由香农提出的一个概念，它描述了信息源各可能事件发生的不确定性。这个概念在信息论中扮演着重要的角色，解决了对信息的量化度量问题。
一条信息的信息量大小和它的不确定性有直接的关系。比如说，我们要搞清楚一件非常非常不确定的事，或是我们一无所知的事情，就需要了解大量的信息。相反，如果我们对某件事已经有了较多的了解，我们不需要太多的信息就能把它搞清楚。所以，从这个角度，我们可以认为，信息量的度量就等于不确定性的多少。
信息量是对信息的度量，我们考虑一个离散的随机变量 x ，当我们观察到这个变量的具体值的时候，我们接收到了多少信息呢？
多少信息用信息量来衡量，我们接受到的信息量跟具体发生的事件有关。
信息的大小跟随机事件的概率有关。越小概率的事情发生了，产生的信息量越大，如湖南地震；越大概率的事情发生了产生的信息量越小，如太阳从东边升起来了（肯定发生， 没什么信息量）。
因此一个具体事件的信息量应该是随着其发生概率而递减的。

香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式。

$H(x)=-\sum p(x_i)lo{g}_2(p(x_i)),i=1,2,..,n$。

其中，x表示信息，$x_i(i=1,2,..,n)$表示x的各种可能取值，$p(x_i)$表示x取值为$x_i$的概率，H的单位是比特。这个公式可以用来计算信息的不确定性，即信息熵。信息熵的提出解决了对信息的量化度量问题。
香农熵在生物信息领域基因表达分析中也有广泛的应用，如一些或一个基因在不同组织材料中表达情况己知，但如何确定这些基因是组织特异性表达，还是广泛表达的，那我们就来计算这些基因在N个样本中的香农熵，结果越趋近于log2(N)，则表明它是一个越广泛表达的基因，结果越趋近于0则表示它是一个特异表达的基因。

排列熵（Permutation Entropy）

是用于衡量时间序列复杂程度的指标
对于某个长度为n的排列x，其元素分别为$x_1,x_2,...,x_n$

1. 规定一个嵌入维度m（即m-neighborhood）和时间延迟t，进行相空间重构

2. 得到k个子序列，$k=n-(m-1)t$，每个子序列分别为：

(1) $x_1,x_{1+t},...,x_{1+(m-1)t}$

(2) $x_2,x_{2+t},...,x_{2+(m-1)t}$

(3) …

(4) $x_k,x_{k+t},...,x_{k+(m-1)t}$

3. 并把其转换为大小关系的排列（k个，共有m!种可能性）

4. 计算每种大小关系排列的概率P，P(排列)=该排列出现次数/k，

5. 计算这些概率的信息熵

按照步骤举个例子，便于理解：

x={2,4,5,6,3,7,1}，其长度n=7

1. 设嵌入维度m=3（3-neightborhood），时间延迟t=1（没有skip）

2. 得到k=n-(m-1)t=5个子序列，即：

(1) 2,4,5

(2) 4,5,6

(3) 5,6,3

(4) 6,3,7

(5) 3,7,1

3. 转换为大小关系的排列，分别为：

(1) 1,2,3

(2) 1,2,3

(3) 2,3,1

(4) 2,1,3

(5) 2,3,1

4. 以上排列共有3种，分别为2次(1,2,3)，2次(2,3,1）和1次(2,1,3)，这些排列的概率分别为：

(1) P(1,2,3) = 2/5

(2) P(2,3,1) = 2/5

(3) P(2,1,3) = 1/5

5. 计算信息熵，得到$Hpe(3)=0.4\times lo{g}_{2}2.5+0.4\times lo{g}_{2}2.5+0.2lo{g}_{2}5=1.5219$

排列熵作为衡量时间序列复杂程度的指标，越规则的时间序列，它对应的排列熵越小；越复杂的时间序列，它对应的排列熵越大。但是这样的结果是建立在合适的 m的选择的基础上的，如果 m 的选取很小，如1或者2的话，那么它的排列空间就会很小（1!、2!）。经过研究表明，这个 m 的选取还是要根据实际情况来决定，一般而言，Bandt and Pompe 建议的取值是m = 3 , . . . , 7

多元排列熵（Multivariate Permutation Entropy,MPE或MvPE)

多元排列熵（Multivariate Permutation Entropy,MPE或MvPE)是排列熵的扩展，由于 EEG 每个通道的数据并非独立，这样的扩展非常必要。
考虑EEG通道的时间窗口大小为T秒，其采样频率为$f_s=\frac{1}{T}$；因此，每个窗口将包括$（f_{s}T）$个样本，即数据点。
对于每个通道$i\in [1,m]$，每个$h\in [1,n=d!]$（即对于每个“基序”），计数所有时间$s\in [1,f_{s}T-d]$，其中通道时间对$(i,s)$提供基序j。
将计数除以mT后获得的频率$p_{i,j}$是矩阵的项$P_t(m,n)＝p_{i,j}$，反映了基序在长度为T的时间片中的分布。
它保持${\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^{d！}{p}_{i,j}=1$。
根据该程序，原始多元时间序列被转换为一个时间相关矩阵，相关统计数据和可以容易地提取熵。
特别地，计算边际相对值很容易描述基序分布的频率，如：
$p_j={\sum }_{i=1}^m{p}_{i,j},j=1,...,d!$，d表示多变量排列熵的跨通道复杂性可以是计算为$p_j$的排列熵：$H_{MPE}(s)=-{\sum }_{j=1}^{d!}{p}_j{\log }_2{p}_j$

通过相同的矩阵，也可以计算单通道多元排列熵，如下所示：

$H_E(i,s)=-{\sum }_{j=1}^{d!}m{p}_{i,j}{\log }_2(m{p}_{i,j}),i=1,2,...,m$

可计算出的一个有趣的量是多元排列熵和通过平均m个单通道排列熵得到的曲线之间的均方差。这个量被称为偶然性。当且仅当单通道分布重合时，它消失。如果它们是高度“相似”的，那么时间序列的整体复杂度有时是两项的总和：信道的平均复杂度和依赖于信道之间的不均匀性的休息。然而，对突发性对多元排列熵的影响的彻底分析超出了目前工作的范围。排列熵是一种对噪声（特别是高频噪声）稳健的测量方法：作为多元排列熵的平均操作实质上的轻微变化，它可以帮助吸收数据采集的一些不确定性。

多元排列熵在脑电图信号处理中很有用，因为如果它是在“遥远的”通道上计算的，即在不同的半球和/或不同的区域，它可以通过突出长期空间（非线性）相关性来提取跨通道的规律。