【知识】稀疏矩阵是否比密集矩阵更高效？

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问题提出

        有些地方说，稀疏图比密集图的计算效率更高，真的吗？

原因猜想

        这里的效率高，应该是有前提的：当使用稀疏矩阵的存储格式(如CSR)时，计算效率更高。如果是普通的完整矩阵格式，实际上效率一样。

        稀疏矩阵的存储格式（如 COO、CSR 或 CSC）直接影响乘法的效率， 一些格式在某些类型的运算中更高效，因为它们可以更快地访问和处理非零元素。因此，当使用了稀疏矩阵存储格式时，如果矩阵非常稀疏（即大多数元素为零），那么使用稀疏矩阵进行矩阵乘法通常会更高效，因为可以跳过大量的零元素乘法操作。

代码验证

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix
import time
import matplotlib.pyplot as plt
from tqdm import tqdmdef measure_time(matrix_size=1000, density=0.1):# 创建密集矩阵dense_matrix = np.random.rand(matrix_size, matrix_size)# 创建普通的稀疏矩阵sparse_matrix = dense_matrix < densitysparse_matrix = sparse_matrix.astype(np.float64)# 将普通的稀疏矩阵转换为CSR格式csr_matrix_sparse = csr_matrix(sparse_matrix)# warmupfor _ in range(5):np.dot(sparse_matrix, sparse_matrix)# 对普通的稀疏矩阵进行矩阵乘法，并计时start_time = time.time()_ = np.dot(sparse_matrix, sparse_matrix)sparse_time = time.time() - start_time# warmupfor _ in range(5):np.dot(dense_matrix, dense_matrix)# 对密集矩阵进行矩阵乘法，并计时start_time = time.time()_ = np.dot(dense_matrix, dense_matrix)dense_time = time.time() - start_time# warmupfor _ in range(5):csr_matrix_sparse.dot(csr_matrix_sparse)# 对CSR格式的稀疏矩阵进行矩阵乘法，并计时start_time = time.time()_ = csr_matrix_sparse.dot(csr_matrix_sparse)csr_time = time.time() - start_timereturn sparse_time, dense_time, csr_time# 矩阵大小范围
sizes = np.arange(10, 1001, 10)
# 记录每种大小下的耗时
times_sparse = []
times_dense = []
times_csr = []
for size in tqdm(sizes):sparse_time, dense_time, csr_time = measure_time(matrix_size=size)times_sparse.append(sparse_time)times_dense.append(dense_time)times_csr.append(csr_time)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(sizes, times_sparse, label='sparse')
plt.plot(sizes, times_dense, label='dense')
plt.plot(sizes, times_csr, label='csr')
plt.xlabel('matrix size')
plt.ylabel('time (s)')
plt.title('matrix_size vs time')
plt.legend()
plt.show()# 稀疏度范围
density = np.arange(0, 1, 0.01)
# 记录每种大小下的耗时
times_sparse = []
times_dense = []
times_csr = []
for den in tqdm(density):sparse_time, dense_time, csr_time = measure_time(density=den)times_sparse.append(sparse_time)times_dense.append(dense_time)times_csr.append(csr_time)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(density, times_sparse, label='sparse')
plt.plot(density, times_dense, label='dense')
plt.plot(density, times_csr, label='csr')
plt.xlabel('density')
plt.ylabel('time (s)')
plt.title('density vs time')
plt.legend()
plt.show()

        从上图可以看出，随着矩阵大小的增大，三种形式的计算效率都在降低，但两种普通的完整矩阵形式的乘法，其效率的变化趋势是一致的。考虑到时间统计有波动，因此可以看成他俩实际上是一样的时间。

        注意，上图中CSR的计算效率低于其他两者，是因为密集度为0.1。当密集度设置为0.01时，CSR的计算效率就会更高了。

        从这个图可以看到，随着密集度的增加，CSR的效率逐渐变低，但普通的完整矩阵形式的乘法，其效率并没有发生变化。