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20231210 随机矩阵和M矩阵

1. 非负矩阵:矩阵元素均非负

定义 7.1.1 设 A = ( a i j ) ∈ R m × n \boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n} A=(aij)Rm×n, 如果
a i j ⩾ 0 , i = 1 , ⋯ , m ; j = 1 , ⋯ , n , a_{i j} \geqslant 0, \quad i=1, \cdots, m ; j=1, \cdots, n, aij0,i=1,,m;j=1,,n,

A \boldsymbol{A} A 的所有元素是非负的, 则称 A \boldsymbol{A} A 为非负矩阵, 记作 A ⩾ 0 \boldsymbol{A} \geqslant 0 A0; 若式 (7.1.1) 中严格不等号成立, 即 a i j > 0 ( i = 1 , ⋯ , m ; j = 1 , ⋯ , n ) a_{i j}>0(i=1, \cdots, m ; j=1, \cdots, n) aij>0(i=1,,m;j=1,,n), 则称 A \boldsymbol{A} A 为正矩阵, 记为 A > 0 \boldsymbol{A}>0 A>0.

2. 随机矩阵:

定义 7.2.1 设 A = ( a i j ) ∈ R n × n \boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n} A=(aij)Rn×n 是非负矩阵, 如果 A \boldsymbol{A} A 的每一行上的元素之和都等于 1 , 即
∑ j = 1 n a i j = 1 , i = 1 , 2 , ⋯ , n , \sum_{j=1}^n a_{i j}=1, \quad i=1,2, \cdots, n, j=1naij=1,i=1,2,,n,

则称 A \boldsymbol{A} A 为随机矩阵; 如果 A \boldsymbol{A} A 还满足
∑ i = 1 n a i j = 1 , j = 1 , 2 , ⋯ , n , \sum_{i=1}^n a_{i j}=1, \quad j=1,2, \cdots, n, i=1naij=1,j=1,2,,n,

则称 A \boldsymbol{A} A 为双随机矩阵.

定理 7.2.1 A ∈ R n × n \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} ARn×n 是随机矩阵,则有
ρ ( A ) = 1. \rho(\boldsymbol{A})=1 . ρ(A)=1.

证明:谱半径 ρ \rho ρ 是矩阵最大特征值。因为 A \boldsymbol{A} A 是随机矩阵, 所以 A \boldsymbol{A} A 的每一行元素之和为 1 , 则 ∥ A ∥ ∥ ∞ = 1 \|\boldsymbol{A}\| \|_{\infty}=1 A=1. 令 x = ( 1 , ⋯ , 1 ) T \boldsymbol{x}=(1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}} x=(1,,1)T, 显然 A x = x = ∥ A ∥ ∞ x \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}=\|\boldsymbol{A}\|_{\infty} \boldsymbol{x} Ax=x=Ax, 即 x \boldsymbol{x} x A \boldsymbol{A} A 对应于特征值 ∥ A ∥ ∞ \|\boldsymbol{A}\| \infty A∥∞ 的特征向量, 而 ρ ( A ) ⩽ ∥ A ∥ ∞ \rho(\boldsymbol{A}) \leqslant\|\boldsymbol{A}\|_{\infty} ρ(A)A, 同时又有 ∥ A ∥ ∞ ⩽ ρ ( A ) \|\boldsymbol{A}\|_{\infty} \leqslant \rho(\boldsymbol{A}) Aρ(A), 故得 ρ ( A ) = ∥ A ∥ ∞ = 1 \rho(\boldsymbol{A})=\|\boldsymbol{A}\|_{\infty}=1 ρ(A)=A=1.
证毕

定理 7.2.2 随机矩阵的乘积仍为随机矩阵。

闵可夫斯基(Minkovski)矩阵,简称M矩阵

定义 7.4.1 A ∈ R n × n A \in \mathbb{R}^{n \times n} ARn×n, 且可表示为
A = s I − B , s > 0 , B ⩾ 0. \boldsymbol{A}=s \boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}, \quad s>0, \quad \boldsymbol{B} \geqslant 0 . A=sIB,s>0,B0.

s ⩾ ρ ( B ) s \geqslant \rho(\boldsymbol{B}) sρ(B), 则称 A \boldsymbol{A} A M \mathbf{M} M 矩阵; 若 s > ρ ( B ) s>\rho(\boldsymbol{B}) s>ρ(B), 则称 A \boldsymbol{A} A 为非奇异 M \mathbf{M} M 矩阵.

Q:为什么叫非奇异M矩阵?
A:因为M矩阵的每一个实特征值均为正。 ( s I − B ) x A = λ A x A (s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{x}_A=\lambda_A\boldsymbol{x}_A (sIB)xA=λAxA λ A \lambda_A λA x A \boldsymbol{x}_A xA 分别为矩阵 A \boldsymbol{A} A 的特征值和特征向量。那么 B x A = ( s − λ A ) x A \boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_A=(s-\lambda_A)\boldsymbol{x}_A BxA=(sλA)xA。反证法:加入 λ A \lambda_A λA为负数,那么 s − λ A > s > ρ ( B ) s-\lambda_A>s>\rho(\boldsymbol{B}) sλA>s>ρ(B),上述等式不可能成立。因此 λ A \lambda_A λA为正数。

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