20231210 随机矩阵和M矩阵

1. 非负矩阵：矩阵元素均非负

定义 7.1.1 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$, 如果
$$a_{ij}⩾0,i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n,$$

即 $\mathbf{A}$ 的所有元素是非负的, 则称 $\mathbf{A}$ 为非负矩阵, 记作 $\mathbf{A}⩾0$; 若式 (7.1.1) 中严格不等号成立, 即 $a_{ij}>0(i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n)$, 则称 $\mathbf{A}$ 为正矩阵, 记为 $\mathbf{A}>0$.

2. 随机矩阵：

定义 7.2.1 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是非负矩阵, 如果 $\mathbf{A}$ 的每一行上的元素之和都等于 1 , 即
$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=1,i=1,2,\cdots ,n,$$

则称 $\mathbf{A}$ 为随机矩阵; 如果 $\mathbf{A}$ 还满足
$$\sum _{i=1}^n{a}_{ij}=1,j=1,2,\cdots ,n,$$

则称 $\mathbf{A}$ 为双随机矩阵.

定理 7.2.1 设 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是随机矩阵,则有
$$\rho (\mathbf{A})=1.$$

证明：谱半径 $\rho$ 是矩阵最大特征值。因为 $\mathbf{A}$ 是随机矩阵, 所以 $\mathbf{A}$ 的每一行元素之和为 1 , 则 $\Vert \mathbf{A}\Vert {\Vert }_{\infty }=1$. 令 $\mathbf{x}=(1,\cdots ,1{)}^{\mathrm{T}}$, 显然 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{x}=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_{\infty }\mathbf{x}$, 即 $\mathbf{x}$ 是 $\mathbf{A}$ 对应于特征值 $\Vert \mathbf{A}\Vert \infty$ 的特征向量, 而 $\rho (\mathbf{A})⩽\Vert \mathbf{A}{\Vert }_{\infty }$, 同时又有 $\Vert \mathbf{A}{\Vert }_{\infty }⩽\rho (\mathbf{A})$, 故得 $\rho (\mathbf{A})=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_{\infty }=1$.
证毕

定理 7.2.2 随机矩阵的乘积仍为随机矩阵。

闵可夫斯基（Minkovski）矩阵，简称M矩阵

定义 7.4.1 设 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, 且可表示为
$$\mathbf{A}=s\mathbf{I}-\mathbf{B},s>0,\mathbf{B}⩾0.$$

若 $s⩾\rho (\mathbf{B})$, 则称 $\mathbf{A}$ 为 $\mathbf{M}$ 矩阵; 若 $s>\rho (\mathbf{B})$, 则称 $\mathbf{A}$ 为非奇异 $\mathbf{M}$ 矩阵.

Q：为什么叫非奇异M矩阵？
A：因为M矩阵的每一个实特征值均为正。$(s\mathbf{I}-\mathbf{B}){\mathbf{x}}_A={\lambda }_A{\mathbf{x}}_A$，${\lambda }_A$ 和 ${\mathbf{x}}_A$ 分别为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值和特征向量。那么 $\mathbf{B}{\mathbf{x}}_A=(s-{\lambda }_A){\mathbf{x}}_A$。反证法：加入${\lambda }_A$为负数，那么$s-{\lambda }_A>s>\rho (\mathbf{B})$，上述等式不可能成立。因此${\lambda }_A$为正数。