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Unity中Shader观察空间推导

news 2025/7/7 7:02:31

文章目录

  • 前言
  • 一、本地空间怎么转化到观察空间
  • 二、怎么得到观察空间的基向量
    • 1、Z轴向量
    • 2、假设 观察空间的 Y~假设~ = (0,1,0)
    • 3、X = Y 与 Z 的叉积
    • 4、Y = X 与 Z 的叉积
  • 三、求 [V~world~]^T^
    • 1、求V~world~
    • 2、求[V~world~]^T^
  • 四、求出最后在Unity中使用的公式
    • 1、偏移坐标轴
    • 2、把 平移的坐标 构建成之前文章中使用的 平移矩阵
    • 3、化简我们的矩阵

前言

在上一篇文章中，我们推演了矩阵几何计算。

  • Unity中Shader矩阵变换的几何体现

在这篇文章中，我们来推导一下 观察空间（摄像机空间）。

一、本地空间怎么转化到观察空间

可以根据上篇文章的推导得出：

  • 在两个不同角度坐标系下的坐标信息转化可以由如下公式算出。

Pview = [Wview] * Pworld

[Wview] = [Vworld]-1 = [Vworld]T

Pview = [Vworld]T * Pworld

  • Pview顶点在观察空间下的坐标
  • Pworld顶点在世界空间下的坐标
  • Wview世界空间的基向量 在 观察空间下的矩阵
  • Vworld观察空间的基向量 在 世界空间下的矩阵

二、怎么得到观察空间的基向量

  • 我们的观察空间使用的是右手坐标系
    在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

1、Z轴向量

  • Z轴正方向是从 模型顶点 指向 摄像机 方向
  • Z = ViewPos - ViewTarget
    请添加图片描述
    现在只知道 Z轴，还需要求 X Y轴。

2、假设 观察空间的 Y假设 = (0,1,0)

  • X = Y 与 Z 的叉积
  • Y = X 与 Z 的叉积

在这里插入图片描述

3、X = Y 与 Z 的叉积

请添加图片描述

4、Y = X 与 Z 的叉积

请添加图片描述
最后，得到的就是 视图空间坐标轴方向上的向量，归一化后即可作为基向量使用

三、求 [Vworld]T

1、求Vworld

  • 把基向量一列一列的写来排列得到 Vworld

V w o r l d X x V w o r l d Y x V w o r l d Z x V w o r l d X y V w o r l d Y y V w o r l d Z y V w o r l d X z V w o r l d Y z V w o r l d Z z \begin{matrix} V~worldXx~&V~worldYx~&V~worldZx~\\ V~worldXy~&V~worldYy~&V~worldZy~\\ V~worldXz~&V~worldYz~&V~worldZz~\\ \end{matrix} V worldXx V worldXy V worldXz ​V worldYx V worldYy V worldYz ​V worldZx V worldZy V worldZz ​

2、求[Vworld]T

这里原本是求逆矩阵，但是基向量矩阵是正交矩阵,所以逆矩阵 = 转置矩阵

V w o r l d X x V w o r l d X y V w o r l d X z V w o r l d Y x V w o r l d Y y V w o r l d Y z V w o r l d Z x V w o r l d Z y V w o r l d Z z \begin{matrix} V~worldXx~&V~worldXy~&V~worldXz~\\ V~worldYx~&V~worldYy~&V~worldYz~\\ V~worldZx~&V~worldZy~&V~worldZz~\\ \end{matrix} V worldXx V worldYx V worldZx ​V worldXy V worldYy V worldZy ​V worldXz V worldYz V worldZz ​

四、求出最后在Unity中使用的公式

  • Pview = [Vworld]T * Pworld

1、偏移坐标轴

在之前的步骤中，我们只完成坐标系的旋转转化。
但是，我们的 观察空间 和 世界空间 的原点不在同一地方。
所以，需要进行平移变换

在这里插入图片描述

2、把 平移的坐标 构建成之前文章中使用的 平移矩阵

1 0 0 − T x 0 1 0 − T y 0 0 1 − T z 0 0 0 1 \begin{matrix} 1&0&0&-T~x~\\ 0&1&0&-T~y~\\ 0&0&1&-T~z~\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix} 1000​0100​0010​−T x −T y −T z 1​

  • 则我们的公式会变成如下样子：
    在这里插入图片描述

3、化简我们的矩阵

在这里插入图片描述

  • 这两个矩阵相乘，最后的一列的结果，可以化简为：

− ( V w o r l d X d o t T ) − ( V w o r l d Y d o t T ) − ( V w o r l d Z d o t T ) 1 \begin{matrix} -(V~worldX~ dot T) \\ -(V~worldY~ dot T) \\ -(V~worldZ~ dot T) \\ 1\\ \end{matrix} −(V worldX dotT)−(V worldY dotT)−(V worldZ dotT)1​

  • 最后，公式化简为：
    在这里插入图片描述

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