线性代数基础【3】向量

第一节 向量的概念与运算

一、基本概念

①向量

②向量的模(长度)

③向量的单位化

④向量的三则运算

⑤向量的内积

二、向量运算的性质

(一)向量三则运算的性质

1. α + β = β + α
2. α + (β + γ) = (α + β) + γ
3. k (α + β) = kα + kβ
4. (k + l) α = kα + lα

(二)向量内积运算的性质

1. (α , β) = (β , α) = α^Tβ = β^Tα
2. (α , α) = α^Ta = |α|^2 , 且(a,a)-0的充分必要条件是a=0
3. (α , k1β1 + k2β2 + … + knβn) = k1(α1 , β1) + k2(α2 , β2) +… + kn(αn , βn)
4. 若(α , β) = 0 ←→ a1b1 + a2b2 + … + anbn = 0, 称a,β正交,记为a⊥β,特别地,零向量与任何向量正交

第二节 向量组的相关性与线性表示

一、向量的相关性与线性表示理论的背景

对齐次线性方程组

及非齐次线性方程组


则方程组(I)(II)可以表示为如下向量形式:

向量的相关性与线性表示理论本质上就是以向量为工具对方程组理论进行描述

注意:

(1)设a1,a2,…,an为向量组,称 k1a1+k2a2+…+knan为向量组a1,a2,…,an的线性组合

(2)设a2,a2,…,an为向量组,b为一个向量,若存在一组数 k1,k2,…,kn,使得b=k1a1+k2a2+…+knan,称向量b可由向量组a1,a2,…,an线性表示

二、向量组相关性与线性表示的基本概念

①相关性

对齐次线性方程组

x1a1+x2a2+…+xnan=0     (*)

(1)若方程组()只有零解,即()成立当且仅当x1=x2=…=xn=0,称向量组a1,a2,…,an线性无关

(2)若方程组(*)有非零解,即存在不全为零的数 k1,k2,…,kn使得,k1a1+k2a2+…+knan=0,称向量组 a1,a2,…,az线性相关

②线性表示

对非齐次线性方程组

x1a1+x2a2+…+xnan=b     (**)

(1)若方程组(**)有解,即存在常数k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=b,称向量b可由向量组a1,a2,…,an线性表示;

(2)若方程组(**)无解,称向量b不可由向量组a1,a2,…,an线性表示

三、向量组相关性与线性表示的性质

性质1 向量组a1,a2,…,an线性相关的充分必要条件是向量组a1,a2,…,an中至少有一个向量可由其余向量线性表示

注意:

(1)一个向量线性相关的充分必要条件是该向量为零向量

(2)两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例

(3)含零向量的向量组一定线性相关

性质2 设a1,a2,…,an线性无关,则

(1)若a1,a2,…,an,b线性相关,则向量b可由a1,a2,…,an唯一线性表示

(2)a1,a2,…,an,b线性无关的充分必要条件是向量b不可由a1,a2,…,an线性表示

性质3 若一个向量组线性无关,则该向量组的任何部分向量组都线性无关

性质4 若向量组有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关.

性质5 设a1,a2,…,an为n个n维向量,则a1,a2,…,an线性无关的充分必要条件是,|a1,a2,…,an|≠0

性质6 设a1,a2,…,an为n个m维向量,若m<n,则向量组a1,a2,…,an一定线性相关

注意:

(1)向量组中向量的个数对应齐次线性方程组未知数的个数,向量组中向量的个数越多，齐次线性方程组中未知数的个数就越多,齐次线性方程组产生自由变量的可能性也越大,从而齐次线性方程组有非零解的可能性增加，即向量组线性相关的可能性增加。故增加向量的个数后线性相关的可能性增加

(2)向量组中向量的维数对应齐次线性方程组方程的个数,维数越多，齐次线性方程组方程的个数越多，只有零解的可能性增加,即向量组线性无关的可能性增加，故增加向量的维数后线性无关的可能性增加

性质7 设向量组a’1,a’2,…,a’n为向量组a1,a2,…,an的扩充向量组(即添加维数后的向量组),若向量组a1,a2,…,an线性无关,则向量组a’1,a’2,…,a’n线性无关,反之不对

性质8 设a1,a2,…,an为两两正交的非零向量组,则a1,a2,…,an线性无关,反之不对.

第三节 向量组等价、向量组的极大线性无关组与向量组的秩

一、基本概念

①向量组等价

注意:等价的两个向量组所含的向量个数可能不同

②向量组的极大线性无关组与向量组的秩

设a1,a2,…,an为一组向量,若满足

(1)向量组a1,a2,…,an中存在r个向量线性无关;

(2)任意r+1个向量(不一定存在)一定线性相关，

称广个线性无关的向量组为向量组a1,a2,…,an的极大线性无关组,极大线性无关组中所含向量的个数称为向量组的秩.

注意:

二、向量组秩的性质

第四节 n维向量空间

一、基本概念

①n维向量空间

所有n维向量连同向量的加法及数与向量的乘法运算称为n维向量空间,记为R^n

②基

设R^{n为n维向量空间,设a1,a2,…,an为R}n中的n个向量,若满足:

(1)a1,a2,…,an线性无关

(2)对任意的β∈R^n,β都可由向量组a1,a2,…,an线性表示

则称a1,a2,…,an为维向量空间R^n的基.

特别地,设a1,a2,…,an为n维向量空间R^n的基,如满足:

(1)a1,a2,…,an两两正交

(2)a1,a2,…,an都是单位向量

称a1,a2,…,an为n维向量空间R^n的正交规范基

③向量在基下的坐标

设a1,a2,…,an为n维向量空间R^{n的基,β∈R}n,若B=k1a1+k2a2+…+knan,称(k1,k2,…,kn)为向量B在基a1,a2,…,an下的坐标

④过渡矩阵

二、基本性质