EM@三角函数诱导公式

诱导公式

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单位圆坐标和三角函数

• 例如,$sin(\theta +\pi )=-sin(\theta );这里\varphi (\theta )=\pi +\theta$

• $途中各个点的横纵坐标分值分别对应p(cox(\varphi (\theta )),sin(\varphi (\theta )))$

• 途中设定了两个超级点(主超级点为$A(cos\theta ,sin\theta ),副超级点B(sin\theta ,cos\theta )$

  • $所有的其他角度都可以由超级点关于x轴或者y轴或者圆心原点(或者\theta =\frac{\pi }{2})对称$
  • 比如$\varphi (\theta )=\theta -\frac{\pi }{2};则sin(\varphi (\theta ))=-cos\theta ;cos(\varphi (\theta ))=sin\theta$

记忆口诀

• 对于$k\frac{\pi }{2}\pm \alpha (k\in \mathbb{Z})$的三角函数值，

符号看象限

• 口诀总是把$\alpha$看作锐角，$2\pi -\alpha \in (270°，360°),弧度角2\pi -\alpha 终边落在第4象限，sin(2\pi -\alpha )<0$，符号为“-”

奇变偶不变

• 当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

• 当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即

  • sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan

• 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号

• 对于$\tan ,\sec ,\csc ,\cot$可以转化为$\cos ,\sin$处理

例

• $sin(2\pi -\alpha )=sin(4\cdot \frac{\pi }{2}-\alpha )$，k=4为偶数，所以函数名(绝对值部分)是$\sin \alpha$。
• 所以$sin(2\pi -\alpha )=-sin\alpha$

常用诱导公式🎈

常用部分(5对)

• $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$

• $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$

• $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$

• $\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$

• $\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$

• $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$

• $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$

• $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$

• $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$

• $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$

• 总之,第一象限全是正的,第三象限全是负的

倒数关系

$$\begin{gathered} 正弦(sine)\times 余割(co-secant)=1 \\ 正割(secant)\times 余弦(co-sine)=1 \\ 正切(tangent)\times 余切(co-tangent)=1 \end{gathered}$$

tan·gent	co·tan·gent	se·cant	co·se·cant
/ˈtanjənt/	/kōˈtanjənt/	/ˈsēˌkant,ˈsēˌkənt/	/kōˈsēkənt/
正切	余切	正割	余割

六种三角函数间的转换关系

• 正弦余弦&正割余割&正切余切间的转换($\frac{\pi }{2}$)
  

小结

• $\frac{\pi }{2}-\alpha$:关于$y=x$对称

• 关于$y=x$对称的两点$P_1=(x_1,y_1),P2=(x_2,y_2)$坐标关系:

  • $x_1=y_2$
  • $x_2=y_1$

Reflections

• 

Shifts and periodicity