计算机图形学作业：三维线段的图形变换

1. 将三维空间某线段 P1P2进行如下的操作，请按要求回答问题：

（1） 沿 X 轴、Y 轴和 Z 轴分别平移 dx、dy 和 dz 的长度，给出相应的变换矩阵。

变换矩阵为：

T=100001000010dxdydz1

 （2） 绕 X 轴旋转 alpha 度角，绕 Y 轴旋转 Beta 度角，绕 Z轴旋转 theta 度角，给出相应的变换矩阵。

变换矩阵（逆时针旋转）为：
T=10000cos⁡αsin⁡α00-sinαcos⁡α00001  cosβ0-sinβ00100sinβ0cosβ00001cosθsinθ00-sinθcosθ0000100001

 （3） 在保持 P1 点位置不变的情况下，将线段放大 s 倍，给出相应的变换矩阵。

设P1 点坐标为(x1,y1,z1)

变换矩阵为：
T=100001000010-x1-y1-z11  s0000s0000s00001100001000010x1y1z11

 4） 依次完成（1）（2）（3）步的操作，给出相应的变换矩阵。

首先，沿 X 轴、Y 轴和 Z 轴分别平移 dx、dy 和 dz 的长度（设P1 点坐标为(x1,y1,z1)）：

T=100001000010dxdydz1

故
x'y'z'1=xyz1T

然后，绕 X 轴旋转 alpha 度角，绕 Y 轴旋转 Beta 度角，绕 Z轴旋转 theta 度角：

令

R=10000cos⁡αsin⁡α00-sinαcos⁡α00001  cosβ0-sinβ00100sinβ0cosβ00001cosθsinθ00-sinθcosθ0000100001

故

x''y''z''1=x'y'z'1R

最后，保持 P1 点位置不变的情况下，将线段放大 s 倍，给出相应的变换矩阵：

设P1 点坐标此时为(x1’’,y1’’,z1’’),则

S=100001000010-x1''-y1''-z1''1  s0000s0000s00001100001000010x1''y1''z1''1

故

x'''y'''z'''1=x''y''z''1S

（5） 以空间某线段 P3(x3,y3,z3)P4(x4,y4,z4)为轴旋转 alpha 度角，给出相应的变换矩阵。 

 

1：平移旋转轴端点P3与坐标原点重合，相应变换矩阵为：

T=100001000010-x3-y3-z31

 

2：将旋转轴P3P4绕x轴逆时针旋转θ 度角使其落在xOz坐标平面上，然后绕y轴逆时针旋转β 度角使其与z轴重合，相应的变换矩阵为：

RXY=10000cosθsinθ⁡00-sinθcosθ00001  cosβ0sinβ00100-sinβ0cosβ00001

3：再绕z轴旋转α度角，相应的变换矩阵为：

RZ=cosαsinα00-sinαcosα0000100001

4:进行步骤2旋转变换的逆变换，相应的变换矩阵为：

RXY-1=  cosβ0sinβ00100-sinβ0cosβ00001-110000cosθsinθ⁡00-sinθcosθ00001-1

5：进行步骤1平移变换的逆变换，相应的变换矩阵为：

T'=100001000010x3y3z31

所以，以空间某线段 P3(x3,y3,z3)P4(x4,y4,z4)为轴旋转 alpha 度角，相应的变换矩阵为：

R=TRXYRZRXY-1T'