数据结构之二叉树的性质与存储结构

  数据结构是程序设计的重要基础，它所讨论的内容和技术对从事软件项目的开发有重要作用。学习数据结构要达到的目标是学会从问题出发，分析和研究计算机加工的数据的特性，以便为应用所涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及其相应的操作方法，为提高利用计算机解决问题的效率服务。
  数据结构是指数据元素的集合及元素间的相互关系和构造方法。元素之间的相互关系是数据的 逻辑结构，数据元素及元素之间关系的存储称为 存储结构(或物理结构)。数据结构按照逻辑关系的不同分为 线性结构和 非线性结构两大类，其中，非线性结构又可分为树结构和图结构。
  树结构是一种非常重要的非线性结构，该结构中的一个数据元素可以有两个或两个以上的直接后继元素，树可以用来描述客观世界中广泛存在的层次结构关系。
  二叉树是 n(n≥0)个结点的有限集合，它或者是空树(n=0)，或者是由一个根结点及两棵不相交的且分别称为左、右子树的二叉树所组成。可见，二叉树具有递归性质。

1、二叉树的性质

  （1）二叉树第 i 层(i≥1)上最多有 2^i-1 个结点。
  （2）高度为 k 的二叉树最多有 2^k-1 个结点 (k≥1)。
  由性质 1，每一层的结点数都取最大值 ${\Sigma }_{i=1}^k{2}^{i-1}=2^k-1$ 即可。
  （3）对于任何一棵二叉树，若其终端结点数为 n₀，度为2的结点数为 n₂，则n₀=n₂+1。
  （4）具有n 个结点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1。
  若深度为 k 的二叉树有 2^k-1 个结点，则称其为满二叉树。可以对满二叉树中的结点进行连续编号： 约定编号从根结点起，自上而下、自左至右依次进行。深度为 k、有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 k 的满二叉树中编号从1至n 的结点一一对应时，称之为完全二叉树。满二叉树如下图 (a)所示，高度为 3 的一个完全二叉树如下图 (b) 所示。

  在一个高度为 h 的完全二叉树中，除了第 h 层（即最后一层），其余各层都是满的。在第 h 层上的结点必须从左到右依次放置，不能留空。下图 © 所示的二叉树不是完全二叉树，因为 6号结点的左边有空结点。

2、二叉树的存储结构

  （1）二叉树的顺序存储结构
  顺序存储是用一组地址连续的存储单元存储二叉树中的结点，必须把结点排成一个适当的线性序列，并且结点在这个序列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系。
  用一组地址连续的存储单元存储二叉树中的结点，必须把结点排成一个适当的线性序列，并且结点在这个序列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系。对于深度为 k 的完全二叉树，除第k层外，其余各层中含有最大的结点数，即每一层的结点数恰为其上一层结点数的两倍，由此从一个结点的编号可推知其双亲、左孩子和右孩子的编号。
  假设有编号为 i 的结点，则有：
  ● 若 i=1，则该结点为根结点，无双亲；若 i>1，则该结点的双亲结点为[i/2]。
  ● 若 2≤n，则该结点的左孩子编号为 2i，否则无左孩子。
  ● 若 2i+1≤n，则该结点的右孩子编号为 2i+1，否则无右孩子。
  完全二叉树的顺序存储结构如下图所示。

  显然，完全二叉树采用顺序存储结构既简单又节省空间，对于一般的二叉树，则不宜采用顺序存储结构。因为一般的二叉树也必须按照完全二叉树的形式存储，也就是要添上一些实际并不存在的“虚结点”，这将造成空间的浪费，如下图所示。

  在最坏情况下，一个深度为 k 且只有 k 个结点的二叉树（单支树） 需要 2^k-1 个存储单元。
  （2）二叉树的链式存储结构
  由于二叉树的结点中包含有数据元素、左子树的根、右子树的根及双亲等信息，因此可以用三叉链表或二叉链表（即一个结点含有 3 个指针或两个指针）来存储二叉树，链表的头指针指向二叉树的根结点，如下图所示。

  设结点中的数据元素为整型，则二叉链表的结点类型定义如下:

typedef struct BiTnode{int    data;struct BiTnode *lchild,*rchild;
}BiTnode.*BiTree;

  在不同的存储结构中，实现二叉树的运算方法也不同，具体应采用什么存储结构，除考虑二叉树的形态外还应考虑需要进行的运算特点。