C++参悟：数值运算相关
数值运算相关
- 一、概述
- 二、常用数学函数
- 1. 基础运算
- 1. 浮点值的绝对值（ |x| ）
- 2. 浮点除法运算的余数
- 3. 除法运算的有符号余数
- 4. 除法运算的有符号余数和最后三个二进制位
- 5. 混合的乘加运算
- 6. 两个浮点值的较大者
- 7. 两个浮点值的较小者
- 8. 两个浮点值的正数差（ max(0, x-y) ）
- 2. 指数函数
- 1. 返回 e 的给定次幂（ e^x^ ）
- 2. 返回 2 的给定次幂（ 2^x^ ）
- 3. 返回 e 的给定次幂减一（ e^x^-1 ）
- 4. 自然（以 e 为底）对数（ ln(x) ）
- 5. 常用（以 10 为底）对数（ log~10~(x) ）
- 6. 给定数值的以 2 为底的对数（ log~2~(x) ）
- 7. 加上给定数值的自然（以 e 为底）对数（ ln(1+x) ）
- 3. 幂函数
- 1. 求某数的给定次幂（ x^y^ ）
- 2. 计算平方根（ √x ）
- 3. 计算立方根（ 3√x ）
- 4. 计算两个给定数的平方和的平方根（ √x^2^+y^2^ ）
- 4. 三角函数
- 1. 计算正弦（ sin(x) ）
- 2. 计算余弦（ cos(x) ）
- 3. 计算正切（ tan(x) ）
- 4. 计算反正弦（ arcsin(x) ）
- 5. 计算反余弦（ arccos(x) ）
- 6. 计算反正切（ arctan(x) ）
- 7. 反正切，用符号确定象限
- 5. 双曲函数
- 1. 计算双曲正弦（ sinh(x) ）
- 2. 计算双曲余弦（ cosh(x) ）
- 3. 计算双曲正切（ tanh(x) ）
- 4. 计算反双曲正弦（ arsinh(x) ）
- 5. 计算反双曲余弦（ arcosh(x) ）
- 6. 计算反双曲正切（ artanh(x) ）
- 6. 误差与伽马函数
- 1. 误差函数
- 2. 补误差函数
- 3. gamma 函数
- 4. gamma 函数的自然对数
- 7. 最接近整数的浮点运算
- 1. 不小于给定值的最接近整数值
- 2. 不大于给定值的最接近整数
- 3. 绝对值不大于给定值的最接近整数
- 4. 最接近整数，中间情况下向远离零舍入
- 5. 使用当前舍入模式的最接近整数
- 6. 使用当前舍入模式的最接近整数
- 8. 浮点操作函数
- 9. 分类与比较
- 三、宏常量
- 四、错误处理
一、概述
C++为我们提供了很多已经定义好的一些数学函数，这些函数的使用一定要注意函数的定义域，因为计算机表示的数据有限，有些非法的运算的结果也是在数值运算库中定义好了的。
二、常用数学函数
在标准库中基本上提供了对于 float、double、long double 类型参数的输入、也有对应的参数 float、double、long double 的输出。就像下面的可以看得出来 不带 任何的后缀是有3个类型的重载、带 ‘f’ 的指定了强制 float 类型、带 ‘l’ 的强制指定了 long double 类型。基本上下面提到的函数都会有这些后缀以满足不同精度的需求。
float fmod ( float x, float y );
double fmod ( double x, double y );
long double fmod ( long double x, long double y ); float fmodf( float x, float y );
long double fmodl( long double x, long double y );
1. 基础运算
1. 浮点值的绝对值（ |x| ）
基础定义： 就是求一个数值的绝对值
double abs( double arg );
abs(float x)
fabs
fabsf
fabsl
此函数不受制于任何指定于 math_errhandling 的错误条件。
若实现支持 IEEE 浮点算术（ IEC 60559 ），则
- 若输入参数为 ±0 ，则返回 +0
- 若输入参数为 ±∞ ，则返回 +∞
- 若输入参数为 NaN ，则返回 NaN
示例：
#include <iostream>
#include <cmath>int main()
{std::cout << "abs(+3.0) = " << std::abs(+3.0) << '\n'<< "abs(-3.0) = " << std::abs(-3.0) << '\n';// 特殊值std::cout << "abs(-0.0) = " << std::abs(-0.0) << '\n'<< "abs(-Inf) = " << std::abs(-INFINITY) << '\n'<< "abs(-NaN) = " << std::abs(-NAN) << '\n';
}
//输出
abs(+3.0) = 3
abs(-3.0) = 3
abs(-0.0) = 0
abs(-Inf) = inf
abs(-NaN) = nan
2. 浮点除法运算的余数
基础定义：计算除法运算 x/y 的浮点余数。有点像整数的余数运算符 %
double fmod ( double x, double y );
fmod
fmodf
fmodl
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cfenv>#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int main()
{std::cout << "fmod(+5.1, +3.0) = " << std::fmod(5.1,3) << '\n'<< "fmod(-5.1, +3.0) = " << std::fmod(-5.1,3) << '\n'<< "fmod(+5.1, -3.0) = " << std::fmod(5.1,-3) << '\n'<< "fmod(-5.1, -3.0) = " << std::fmod(-5.1,-3) << '\n';// 特殊值std::cout << "fmod(+0.0, 1.0) = " << std::fmod(0, 1) << '\n'<< "fmod(-0.0, 1.0) = " << std::fmod(-0.0, 1) << '\n'<< "fmod(5.1, Inf) = " << std::fmod(5.1, INFINITY) << '\n';// 错误处理std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);std::cout << "fmod(+5.1, 0) = " << std::fmod(5.1, 0) << '\n';if(std::fetestexcept(FE_INVALID))std::cout << " FE_INVALID raised\n";
}
// 输出
fmod(+5.1, +3.0) = 2.1
fmod(-5.1, +3.0) = -2.1
fmod(+5.1, -3.0) = 2.1
fmod(-5.1, -3.0) = -2.1
fmod(+0.0, 1.0) = 0
fmod(-0.0, 1.0) = -0
fmod(5.1, Inf) = 5.1
fmod(+5.1, 0) = -nanFE_INVALID raised
3. 除法运算的有符号余数
基础定义：此函数所计算的除法运算 x/y 的 IEEE 浮点余数，准确地为值 x - n*y ，其中值 n 是最接近 x/y 准确值的整数值。 |n-x/y| = ½ 时，选择作为偶数的 n 。与 std::fmod() 相反，不保证返回值拥有与 x 相同的符号。若返回值是 0 ，则它拥有与 x 相同的符号。
double remainder ( double x, double y );
remainder
remainderf
remainderl
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cfenv>#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int main()
{std::cout << "remainder(+5.1, +3.0) = " << std::remainder(5.1,3) << '\n'<< "remainder(-5.1, +3.0) = " << std::remainder(-5.1,3) << '\n'<< "remainder(+5.1, -3.0) = " << std::remainder(5.1,-3) << '\n'<< "remainder(-5.1, -3.0) = " << std::remainder(-5.1,-3) << '\n';// 特殊值std::cout << "remainder(-0.0, 1.0) = " << std::remainder(-0.0, 1) << '\n'<< "remainder(5.1, Inf) = " << std::remainder(5.1, INFINITY) << '\n';// 错误处理std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);std::cout << "remainder(+5.1, 0) = " << std::remainder(5.1, 0) << '\n';if(fetestexcept(FE_INVALID))std::cout << " FE_INVALID raised\n";
}
//输出
remainder(+5.1, +3.0) = -0.9
remainder(-5.1, +3.0) = 0.9
remainder(+5.1, -3.0) = -0.9
remainder(-5.1, -3.0) = 0.9
remainder(-0.0, 1.0) = -0
remainder(5.1, Inf) = 5.1
remainder(+5.1, 0) = -nanFE_INVALID raised
4. 除法运算的有符号余数和最后三个二进制位
基础定义：
remquo
remquof
remquol
5. 混合的乘加运算
基础定义：计算 (x*y) + z ，如同用无限精度，而仅舍入一次到结果类型。
double fma ( double x, double y, double z );
fma
fmaf
fmal
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <cfenv>
#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int main()
{// 演示 fma 与内建运算符间的差别double in = 0.1;std::cout << "0.1 double is " << std::setprecision(23) << in<< " (" << std::hexfloat << in << std::defaultfloat << ")\n"<< "0.1*10 is 1.0000000000000000555112 (0x8.0000000000002p-3), "<< "or 1.0 if rounded to double\n";double expr_result = 0.1 * 10 - 1;double fma_result = fma(0.1, 10, -1);std::cout << "0.1 * 10 - 1 = " << expr_result<< " : 1 subtracted after intermediate rounding\n"<< "fma(0.1, 10, -1) = " << std::setprecision(6) << fma_result << " ("<< std::hexfloat << fma_result << std::defaultfloat << ")\n\n";// fma 用于 double-double 算术double high = 0.1 * 10;double low = fma(0.1, 10, -high);std::cout << "in double-double arithmetic, 0.1 * 10 is representable as "<< high << " + " << low << "\n\n";// 错误处理std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);std::cout << "fma(+Inf, 10, -Inf) = " << std::fma(INFINITY, 10, -INFINITY) << '\n';if(std::fetestexcept(FE_INVALID))std::cout << " FE_INVALID raised\n";
}
//输出
0.1 double is 0.10000000000000000555112 (0x1.999999999999ap-4)
0.1*10 is 1.0000000000000000555112 (0x8.0000000000002p-3), or 1.0 if rounded to double
0.1 * 10 - 1 = 0 : 1 subtracted after intermediate rounding
fma(0.1, 10, -1) = 5.55112e-17 (0x1p-54)in double-double arithmetic, 0.1 * 10 is representable as 1 + 5.55112e-17fma(+Inf, 10, -Inf) = -nanFE_INVALID raised
6. 两个浮点值的较大者
基础定义：返回二个浮点数的较大者
double fmax ( double x, double y );
fmax
fmaxf
fmaxl
#include <iostream>
#include <cmath>int main()
{std::cout << "fmax(2,1) = " << std::fmax(2,1) << '\n'<< "fmax(-Inf,0) = " << std::fmax(-INFINITY,0) << '\n'<< "fmax(NaN,-1) = " << std::fmax(NAN,-1) << '\n';
}
//输出：
fmax(2,1) = 2
fmax(-Inf,0) = 0
fmax(NaN,-1) = -1
7. 两个浮点值的较小者
基础定义：返回二个浮点数的较小者
double fmin ( double x, double y );
fmin
fminf
fminl
#include <iostream>
#include <cmath>int main()
{std::cout << "fmin(2,1) = " << std::fmin(2,1) << '\n'<< "fmin(-Inf,0) = " << std::fmin(-INFINITY,0) << '\n'<< "fmin(NaN,-1) = " << std::fmin(NAN,-1) << '\n';
}
//输出
fmin(2,1) = 1
fmin(-Inf,0) = -inf
fmin(NaN,-1) = -1
8. 两个浮点值的正数差（ max(0, x-y) ）
基础定义：返回 x 与 y 间的正差，即若 x>y 则返回 x-y ，否则（若 x≤y ）返回 +0 。
double fdim ( double x, double y );
fdim
fdimf
fdiml
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cerrno>
#include <cstring>
#include <cfenv>
#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int main()
{std::cout << "fdim(4, 1) = " << std::fdim(4, 1)<< " fdim(1, 4) = " << std::fdim(1, 4) << '\n'<< "fdim(4,-1) = " << std::fdim(4, -1)<< " fdim(1,-4) = " << std::fdim(1, -4) << '\n';// 错误处理errno = 0;std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);std::cout << "fdim(1e308, -1e308) = " << std::fdim(1e308, -1e308) << '\n';if (errno == ERANGE)std::cout << " errno == ERANGE: " << std::strerror(errno) << '\n';if (std::fetestexcept(FE_OVERFLOW))std::cout << " FE_OVERFLOW raised\n";
}
//输出
fdim(4, 1) = 3 fdim(1, 4) = 0
fdim(4,-1) = 5 fdim(1,-4) = 5
fdim(1e308, -1e308) = inferrno == ERANGE: Numerical result out of rangeFE_OVERFLOW raised
2. 指数函数
1. 返回 e 的给定次幂（ ex ）
基础定义
double exp ( double arg );
exp
expf
expl
图像
2. 返回 2 的给定次幂（ 2x ）
基础定义
double exp2 ( double n );
exp2
exp2f
exp2l
图像
3. 返回 e 的给定次幂减一（ ex-1 ）
基础定义：
double expm1 ( double arg );`在这里插入代码片`
expm1
expm1f
expm1l
图像
4. 自然（以 e 为底）对数（ ln(x) ）
基础定义
double log ( double arg );
log
logf
logl
图像
5. 常用（以 10 为底）对数（ log10(x) ）
基础定义
double log10 ( double arg );
log10
log10f
log10l
图像
6. 给定数值的以 2 为底的对数（ log2(x) ）
基础定义
double log2 ( double arg );
log2
log2f
log2l
图像
7. 加上给定数值的自然（以 e 为底）对数（ ln(1+x) ）
基础定义
double log1p ( double arg );
log1p
log1pf
log1pl
图像
3. 幂函数
1. 求某数的给定次幂（ xy ）
基础定义
double pow ( double base, double exp );
pow
powf
powl
2. 计算平方根（ √x ）
基础定义
double sqrt ( double arg );
sqrt
sqrtf
sqrtl
3. 计算立方根（ 3√x ）
基础定义
double cbrt ( double arg );
cbrt
cbrtf
cbrtl
4. 计算两个给定数的平方和的平方根（ √x2+y2 ）
基础定义
double hypot ( double x, double y );
hypot
hypotf
hypotl
4. 三角函数
1. 计算正弦（ sin(x) ）
基础定义
double sin ( double arg );
sin
sinf
sinl
图像
2. 计算余弦（ cos(x) ）
基础定义
double cos ( double arg );
cos
cosf
cosl
图像
3. 计算正切（ tan(x) ）
基础定义
double tan ( double arg );
tan
tanf
tanl
图像
4. 计算反正弦（ arcsin(x) ）
基础定义
double asin ( double arg );
asin
asinf
asinl
图像
5. 计算反余弦（ arccos(x) ）
基础定义
double acos ( double arg );
acos
acosf
acosl
图像
6. 计算反正切（ arctan(x) ）
基础定义
double atan ( double arg );
atan
atanf
atanl
图像
7. 反正切，用符号确定象限
基础定义
double atan2 ( double y, double x );
atan2
atan2f
atan2l
5. 双曲函数
1. 计算双曲正弦（ sinh(x) ）
基础定义
double sinh ( double arg );
sinh
sinhf
sinhl
图像
2. 计算双曲余弦（ cosh(x) ）
基础定义
double cosh ( double arg );
cosh
coshf
coshl
图像
3. 计算双曲正切（ tanh(x) ）
基础定义
double tanh ( double arg );
tanh
tanhf
tanhl
图像
4. 计算反双曲正弦（ arsinh(x) ）
基础定义
double asinh ( double arg );
asinh
asinhf
asinhl
图像
5. 计算反双曲余弦（ arcosh(x) ）
基础定义
double acosh ( double arg );
acosh
acoshf
acoshl
图像
6. 计算反双曲正切（ artanh(x) ）
基础定义
double atanh ( double arg );
atanh
atanhf
atanhl
图像
6. 误差与伽马函数
1. 误差函数
erf
erff
erfl
2. 补误差函数
erfc
erfcf
erfcl
3. gamma 函数
tgamma
tgammaf
tgammal
4. gamma 函数的自然对数
lgamma
lgammaf
lgammal
7. 最接近整数的浮点运算
1. 不小于给定值的最接近整数值
基础定义：计算不小于 arg 的最小整数值。
double ceil ( double arg );
ceil
ceilf
ceill
#include <cmath>
#include <iostream>
int main()
{std::cout << std::fixed<< "floor(+2.7) = " << std::floor(+2.7) << '\n'<< "floor(-2.7) = " << std::floor(-2.7) << '\n'<< "floor(-0.0) = " << std::floor(-0.0) << '\n'<< "floor(-Inf) = " << std::floor(-INFINITY) << '\n';
}//输出：
floor(+2.7) = 2.000000
floor(-2.7) = -3.000000
floor(-0.0) = -0.000000
floor(-Inf) = -inf
2. 不大于给定值的最接近整数
基础定义：计算不大于 arg 的最大整数值。
#include <cmath>
#include <iostream>
int main()
{std::cout << std::fixed<< "floor(+2.7) = " << std::floor(+2.7) << '\n'<< "floor(-2.7) = " << std::floor(-2.7) << '\n'<< "floor(-0.0) = " << std::floor(-0.0) << '\n'<< "floor(-Inf) = " << std::floor(-INFINITY) << '\n';
}//输出：
floor(+2.7) = 2.000000
floor(-2.7) = -3.000000
floor(-0.0) = -0.000000
floor(-Inf) = -inf
3. 绝对值不大于给定值的最接近整数
基础定义：计算绝对值不大于 arg 的最接近整数。
#include <cmath>
#include <iostream>
int main()
{std::cout << std::fixed<< "trunc(+2.7) = " << std::trunc(+2.7) << '\n'<< "trunc(-2.9) = " << std::trunc(-2.9) << '\n'<< "trunc(-0.0) = " << std::trunc(-0.0) << '\n'<< "trunc(-Inf) = " << std::trunc(-INFINITY) << '\n';
}// 可能的输出：
trunc(+2.7) = 2.000000
trunc(-2.9) = -2.000000
trunc(-0.0) = -0.000000
trunc(-Inf) = -inf
4. 最接近整数，中间情况下向远离零舍入
基础定义：计算 arg 的最接近整数值（以浮点格式），中点情况舍入为远离零，无关乎当前舍入模式。 计算 arg 的最接近整数值（以整数格式），中点情况舍入为远离零，无关乎当前舍入模式。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cfenv>
#include <climits>#pragma STDC FENV_ACCESS ONint main()
{// roundstd::cout << "round(+2.3) = " << std::round(2.3)<< " round(+2.5) = " << std::round(2.5)<< " round(+2.7) = " << std::round(2.7) << '\n'<< "round(-2.3) = " << std::round(-2.3)<< " round(-2.5) = " << std::round(-2.5)<< " round(-2.7) = " << std::round(-2.7) << '\n';std::cout << "round(-0.0) = " << std::round(-0.0) << '\n'<< "round(-Inf) = " << std::round(-INFINITY) << '\n';// lroundstd::cout << "lround(+2.3) = " << std::lround(2.3)<< " lround(+2.5) = " << std::lround(2.5)<< " lround(+2.7) = " << std::lround(2.7) << '\n'<< "lround(-2.3) = " << std::lround(-2.3)<< " lround(-2.5) = " << std::lround(-2.5)<< " lround(-2.7) = " << std::lround(-2.7) << '\n';std::cout << "lround(-0.0) = " << std::lround(-0.0) << '\n'<< "lround(-Inf) = " << std::lround(-INFINITY) << '\n';// 错误处理std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);std::cout << "std::lround(LONG_MAX+1.5) = "<< std::lround(LONG_MAX+1.5) << '\n';if (std::fetestexcept(FE_INVALID))std::cout << " FE_INVALID was raised\n";
}//可能的输出：
round(+2.3) = 2 round(+2.5) = 3 round(+2.7) = 3
round(-2.3) = -2 round(-2.5) = -3 round(-2.7) = -3
round(-0.0) = -0
round(-Inf) = -inf
lround(+2.3) = 2 lround(+2.5) = 3 lround(+2.7) = 3
lround(-2.3) = -2 lround(-2.5) = -3 lround(-2.7) = -3
lround(-0.0) = 0
lround(-Inf) = -9223372036854775808
std::lround(LONG_MAX+1.5) = -9223372036854775808FE_INVALID was raised
5. 使用当前舍入模式的最接近整数
6. 使用当前舍入模式的最接近整数
若结果有别则有异常
8. 浮点操作函数
9. 分类与比较
三、宏常量
四、错误处理
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前提：安装c/c插件 c/c插件功能非常强大，几乎能满足日常编码过程中常用的功能；因此也包含自动补全的功能，开启方法如下： 文件->首选项->设置： 扩展->c/c->Intellisense，找到Intell…...
深度学习记录--指数加权平均
指数加权移动平均(exponentially weighted moving averages) 如何对杂乱的数据进行拟合？ 通过指数加权平均可以把数据图近似拟合成一条曲线 公式： 其中表示第t个平均数，表示第t-1个平均数，表示第t个数据，表示变化参数…...
如何生成图源二维码？
数据是GIS的血液。 自从苹果端与安卓端水经微图APP（简称“微图APP”）上线之后，有用户反馈图源比较少的问题。 其实，微图APP支持通过图源二维码添加自定义图源，而该二维码则可以通过微图Web版生成。 如何生成图源二维…...
PowerShell install 一键部署grafana
grafana 前言 Grafana 是一款开源的数据可视化和监控仪表盘工具。它提供了丰富的数据查询、可视化和报警功能，可用于实时监控、数据分析和故障排除等领域。 通过 Grafana，您可以连接到各种不同的数据源，包括时序数据库（如 Prometheus、InfluxDB）和关系型数据库（如 MySQ…...
笨蛋学设计模式行为型模式-解释器模式【23】
行为型模式-解释器模式 8.10解释器模式8.10.1概念8.10.2场景8.10.3优势 / 劣势8.10.4解释器模式可分为8.10.5解释器模式8.10.6实战8.10.6.1题目描述8.10.6.2输入描述8.10.6.3输出描述8.10.6.4代码 8.10.7总结 8.10解释器模式 8.10.1概念 解释器模式用于定义一个语言的文法…...
SAP ABAP SUBMIT常用用法
导语：一直对SUBMIT的用法模模糊糊，每次用都要去查询，本次痛下决心，腾出时间，梳理了一下，如果本文对你有帮助，点个赞再走～ 之前分享过SUBMIT调用程序获取内表的值，就不重…...
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GitLab备份与恢复测试(基于Docker)
GitLab环境准备 docker run --name gitlab \ -p 2022:22 -p 2080:80 -p 2443:443 -d \ -v /opt/gitlab/config:/etc/gitlab \ -v /opt/gitlab/gitlab/logs:/var/log/gitlab \ -v /opt/gitlab/gitlab/data:/var/opt/gitlab \ gitlab/gitlab-ce:16.2.1-ce.0备份 1.修改配置文件…...
Golang 面试经典题：map 的 key 可以是什么类型？哪些不可以？
Golang 面试经典题：map 的 key 可以是什么类型？哪些不可以？ 在 Golang 的面试中，map 类型的使用是一个常见的考点，其中对 key 类型的合法性 是一道常被提及的基础却很容易被忽视的问题。本文将带你深入理解 Golang 中…...
第一篇：Agent2Agent (A2A) 协议——协作式人工智能的黎明
AI 领域的快速发展正在催生一个新时代，智能代理（agents）不再是孤立的个体，而是能够像一个数字团队一样协作。然而，当前 AI 生态系统的碎片化阻碍了这一愿景的实现，导致了“AI 巴别塔问题”——不同代理之间…...
【单片机期末】单片机系统设计
主要内容：系统状态机，系统时基，系统需求分析，系统构建，系统状态流图 一、题目要求 二、绘制系统状态流图 题目：根据上述描述绘制系统状态流图，注明状态转移条件及方向。 三、利用定时器产生时…...
令牌桶 滑动窗口-＞限流 分布式信号量-＞限并发的原理 lua脚本分析介绍
文章目录 前言限流限制并发的实际理解限流令牌桶代码实现结果分析令牌桶lua的模拟实现原理总结： 滑动窗口代码实现结果分析lua脚本原理解析 限并发分布式信号量代码实现结果分析lua脚本实现原理 双注解去实现限流 并发结果分析： 实际业务去理解体会统一注…...
（转）什么是DockerCompose?它有什么作用？
一、什么是DockerCompose? DockerCompose可以基于Compose文件帮我们快速的部署分布式应用，而无需手动一个个创建和运行容器。 Compose文件是一个文本文件，通过指令定义集群中的每个容器如何运行。 DockerCompose就是把DockerFile转换成指令去运行。 …...
SpringTask-03.入门案例
一.入门案例 启动类： package com.sky;import lombok.extern.slf4j.Slf4j; import org.springframework.boot.SpringApplication; import org.springframework.boot.autoconfigure.SpringBootApplication; import org.springframework.cache.annotation.EnableCach…...
什么？连接服务器也能可视化显示界面？：基于X11 Forwarding + CentOS + MobaXterm实战指南
文章目录 什么是X11？环境准备实战步骤1️⃣ 服务器端配置（CentOS）2️⃣ 客户端配置（MobaXterm）3️⃣ 验证X11 Forwarding4️⃣ 运行自定义GUI程序(Python示例)5️⃣ 成功效果
人工智能（大型语言模型 LLMs）对不同学科的影响以及由此产生的新学习方式
今天是关于AI如何在教学中增强学生的学习体验，我把重要信息标红了。人文学科的价值被低估了 ⬇️ 转型与必要性 人工智能正在深刻地改变教育，这并非炒作，而是已经发生的巨大变革。教育机构和教育者不能忽视它，试图简单地禁止学生使…...
基于SpringBoot在线拍卖系统的设计和实现
摘 要 随着社会的发展，社会的各行各业都在利用信息化时代的优势。计算机的优势和普及使得各种信息系统的开发成为必需。 在线拍卖系统，主要的模块包括管理员；首页、个人中心、用户管理、商品类型管理、拍卖商品管理、历史竞拍管理、竞拍订单…...
【无标题】路径问题的革命性重构：基于二维拓扑收缩色动力学模型的零点隧穿理论
路径问题的革命性重构：基于二维拓扑收缩色动力学模型的零点隧穿理论 一、传统路径模型的根本缺陷 在经典正方形路径问题中（图1）： mermaid graph LR A((A)) --- B((B)) B --- C((C)) C --- D((D)) D --- A A -.- C[无直接路径] B -…...