数学建模-------误差来源以及误差分析

绝对误差：精确值-近似值；

举个例子：从A到B，应该有73千米，但是我们近似成了70千米；从C到D，应该是1373千米，我们近似成了1370千米，如果使用绝对误差，结果都是3，显然无法衡量我们误差的大小，这个时候我们引入了相对误差；

相对误差：精确值-近似值/精确值；我们希望通过两者的界限可以相互转换，所以我们在实际计算时候，用绝对误差除以近似值就得到相对误差，这个时候如果我们知道绝对误差的界限，我们就可以得出相对误差的界限（通过证明可以利用无穷小得知，这样替换以后得到的相对误差会更小）；

误差的种类：

（1）模型误差：就是建立模型时候，忽略掉的因素，比如自由落体的问题，我们忽略空气阻力建立的数学模型，这个过程所产生的误差就是模型误差；

（2）观测误差：那自由落体问题，计算下落时间，物体到地面的高度会有观测误差；

（3）方法误差：一个实际问题会有不同的解决方案，我们利用不同的方案，就会得到不同的精度，这个过程的误差叫做方法误差；

（4）舍入误差：就是由于计算机的四舍五入而产生的误差，我本来也是认为计算机不会四舍五入，老师讲解后才明白计算机的精度是有限的，当我们的计算超过计算机的精度的时候，计算机无法准确的计算，它会根据实际情况取舍，例如，有一个0~1之间数字超过计算机的精度，如果距离0更近，就按照0进行计算，否则就按照1进行计算；减小舍入误差的方法就是减少计算的时间，步骤；

误差的传播：

这里老师引入了一个误差传播系数的概念，通过它衡量单个误差对于结果误差的影响；

（1）加法：

例如1/3+2/3=1；其实计算机在进行计算时候，是进行了四舍五入的，因为1/3和2/3都无法精确地进行计算，这个时候1/3的误差是0.000.........3（因为真实值是无限无数的3，但是计算机只是取了有限位数;2/3再进行计算时误差是-0.0000.......3（因为真实值是无限位数的6，但是计算机取大了，误差是精确值减去近似值，所以是一个负数）两者在相加的过程中是完全抵消掉的，所以我们依然可以得出正确的答案；这里y的绝对误差是两者的代数和，是带有正负号的；所以两者相加时候，误差不一定会增加；

这里的系数就是误差传播系数，通过它来衡量单个误差对于结果误差的影响程度，通过放缩法可以得到相对误差一定是减小了的；

（2）减法：

同理可得，做减法的时候，当x1,x2很接近的时候，就会得到误差传播系数无穷大，扩大误差，因此，减小误差的手段就是避免两个十分相近的数字进行减法；两个相近的近似数做减法才有很大误差；

（3）乘法：

显而易见，X1的传播系数是X2，X2的误差传播系数是X1；因此减小乘法运算的误差就要避免2个绝对值很大的数字相乘；而相对误差是两个相对误差的代数和

（4）除法：

根据通式，分别对x1,x2求偏导数，减小误差的方法就是避免绝对值很小的数字做除法运算，通过凑配得出相对误差

算法的稳定性，收敛性：当我们计算第无穷项数之后，误差趋近于0时，我们称该算法是收敛的；

当输入的误差越小时候，输出的误差越小，我们称该算法是可控的，稳定的。