代码随想录算法训练营Day38|动态规划理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

目录

动态规划理论基础

什么是动态规划

动态规划的解题步骤

动态规划的debug

509. 斐波那契数

前言

思路

算法实现

方法一：动态规划

方法二：递归法

 70. 爬楼梯

前言

思路

算法实现

拓展

746. 使用最小花费爬楼梯

算法实现

总结

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动态规划理论基础

什么是动态规划

        动态规划，英文名为Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

动态规划的解题步骤

        代码随想录中总结了动态规划的五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义；
2. 确定递推公式；文章链接
3. dp数组如何初始化；
4. 确定遍历顺序；
5. 举例推导dp数组。

动态规划的debug

        写动规题目，代码出问题很正常！找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

        做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。

        这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。

509. 斐波那契数

题目链接

文章链接

前言

         对于动规，如果没有方法论的话，可能简单题目可以顺手一写就过，难一点就不知道如何下手了。从一开始做题就按照动态规划的五部曲顺序来执行。

思路

        按照动态规划五部曲来执行：

1. 确定dp数组以及下标的含义：

        dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数列值是dp[i]；

     2.确定递推公式：

        题目中已经给出递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]；

     3.dp数组初始化：

        题目同样已经给出：dp[0] = 0, dp[1] = 1;

     4.确定遍历顺序：

        前序遍历；

     5.举例推导dp数组：

        按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

        如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

算法实现

方法一：动态规划

class Solution {
public:int fib(int n) {if (n <= 1) return n;vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}
};

        本题的dp实现很简单，因为题目信息已经给出递推公式和初始化值，也可以只维护dp数组前两个值，算法如下：

class Solution {
public:int fib(int n) {if (n <= 1) return n;int dp[2];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int sum = dp[0] + dp[1];dp[0] = dp[1];dp[1] = sum;}return dp[1];}
};

方法二：递归法

        还可以使用递归法进行实现，递归的实现较为简单，递归终止条件就是当n小于2。

class Solution {
public:int fib(int n) {if (n < 2) return n;return fib(n - 1) + fib(n - 2);}
};

 70. 爬楼梯

题目链接

文章链接

前言

        本题就没有像上一题一样直接给出递推公式，我们先自=自己举几个例子，就可以发现规律。

思路

        按照题目条件爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。

        利用动态规划五部曲来进行分析：

1.确定dp数组以及下标的含义：

        dp[i]的含义是爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法；

2.确定递推公式：

        从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来：一个是dp[i - 1]，上i - 1层楼梯，已经有dp[i - 1]种方法，再跳一个台阶就是dp[i]；另一个是dp[i - 2]，上i - 2层楼梯，已经有dp[i - 2]种方法，那么再跳两个台阶就是dp[i]。因此dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！

        所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。尤其注意在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！

3.dp数组初始化：

        需要注意的是：题目中说了n是一个正整数，题目根本就没说n有为0的情况。所以本题不需要讨论dp[0]的初始化，直接初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推。

4.确定遍历顺序：

        从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的；

5.举例推导dp数组：

        同上题思路一致。

算法实现

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if (n <= 1) return n;vector<int> dp(n + 1);dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++){dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}
};

        同样也有简化算法，只维护dp数组前面几个元素：

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if (n <= 1) return n;int dp[3];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++){int sum = dp[1] + dp[2];dp[1] = dp[2];dp[2] = sum;}return dp[2];}
};

拓展

        一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，直到 m个台阶，有多少种方法爬到n阶楼顶？

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) { if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];}}return dp[n];}
};

746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接

文章链接

算法实现

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {vector<int> dp(cost.size() + 1);dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[cost.size()];}
};

        简化之后：

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int dp[2];dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {int dpi = min(dp[0] + cost[i - 2], dp[1] + cost[i - 1]);dp[0] = dp[1];dp[1] = dpi;}return dp[1];}
};

总结

        今天了解了动态规划的理论以及较简单题目的实现，在练习过程中熟悉了动态规划五部曲的使用，感觉非常实用！