图形学：Transform矩阵（3维 2维） 平移，旋转，缩放

0. 简介

在图形学领域中，Transform矩阵（变换矩阵）是一种表示图形对象在二维或三维空间中的位置、方向和大小变化的数学工具。它们用于执行各种图形变换，如平移、旋转、缩放。Transform矩阵通常表示为一个二维或三维矩阵，具体形式取决于空间的维度。

0.1 二维变换矩阵

• 在二维图形学中，通常使用3x3的矩阵表示变换，其中最后一行通常是[0, 0, 1]，因为二维变换不影响z轴。这个矩阵可以表示平移、旋转、缩放和剪切。
• 例如，一个简单的二维平移矩阵可以写成：

   [ 1  0  tx ][ 0  1  ty ][ 0  0  1  ]

其中tx和ty是平移的水平和垂直距离。

0.2 三维变换矩阵

• 在三维图形学中，通常使用4x4的矩阵表示变换，其中最后一列通常是[0, 0, 0, 1]。这种矩阵可以表示平移、旋转、缩放以及更复杂的变换。
• 一个简单的三维平移矩阵可以写成：

   [ 1  0  0  tx ][ 0  1  0  ty ][ 0  0  1  tz ][ 0  0  0  1  ]

其中tx、ty和tz是平移的x、y和z轴距离。

不管是二维变换矩阵还是三维变换矩阵，它的最后一行都是齐次坐标，通常是[0, ... , 1]用于处理齐次坐标，使得可以用矩阵乘法来同时处理旋转和平移。

1. 举个例子

1.1 平移

给定的初始 Transform 矩阵如下：

[ 1  0  0  tx ]
[ 0  1  0  ty ]
[ 0  0  1  tz ]
[ 0  0  0  1  ]

希望在 x 轴增加 2 个单位，y 轴增加 1 个单位，z 轴减小 3 个单位。

1.1.1 计算过程

1. 对 x 轴进行增加 2 个单位： 可以将 tx（原始平移量）增加 2 个单位。
2. 对 y 轴进行增加 1 个单位： 将 ty（原始平移量）增加 1 个单位。
3. 对 z 轴进行减小 3 个单位： 要使物体沿 z 轴负方向移动，需要将 tz 减小 3 个单位。

1.1.2 计算结果

[ 1  0  0  tx + 2 ]
[ 0  1  0  ty + 1 ]
[ 0  0  1  tz - 3 ]
[ 0  0  0     1   ]

这个新的矩阵表示了对原始物体进行了所需的平移操作。

1.2 旋转

1.2.1 2维旋转矩阵

```css
[ cos(θ)   -sin(θ) ]
[ sin(θ)    cos(θ) ]

1.2.1 3维旋转矩阵

• 绕x轴旋转矩阵

[ 1     0        0      0 ]
[ 0  cos(θ)   -sin(θ)   0 ]
[ 0  sin(θ)    cos(θ)   0 ]
[ 0     0        0      1 ]

• z轴旋转

[ cos(θ)  -sin(θ)   0   0 ]
[ sin(θ)   cos(θ)   0   0 ]
[    0       0      1   0 ]
[    0       0      0   1 ]

• 绕y轴旋转

[ cos(θ)   0   sin(θ)   0 ]
[    0     1      0     0 ]
[-sin(θ)   0   cos(θ)   0 ]
[    0     0      0     1 ]

原始的Transform矩阵T与旋转矩阵R相乘，得到新的Transform矩阵 T'
T' = T * R

1.3 缩放

1.3.1 缩放矩阵

[ sx  0   0   0 ]
[ 0   sy  0   0 ]
[ 0   0   sz  0 ]
[ 0   0   0   1 ]

原始的Transform矩阵T与缩放矩阵S相乘，得到新的Transform矩阵 T'
T' = T * S