量子算法入门——2.线性代数与复数

参考资料：
【【零基础入门量子计算-第03讲】线性代数初步与复数】
来自b站up：溴锑锑跃迁
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0. 前言

强烈建议搭配b站原视频进行观看，这只是我当时看的笔记，读懂这堂课的内容可能需要：线性代数（初等变换、列向量）、离散数学（群）、高等数学（极限等价无穷小部分）的知识储备

1. 向量的表示与运算

1. 平面向量基本定理，可推广至三维或更多维度情况
   

2. 内积=点乘，得到标量
   
   
   
   
   

3. 正交基——内积为零的两向量相互垂直，称为正交基底
   
   
   

2. 矩阵表示及其运算

• 矩阵运算法则
  

• 矩阵初等变换
  

• 逆矩阵（up的视频里面这里要是有如下文字提示可能会更好）
  设有矩阵$A$和矩阵$B$，有$AB=E$（其中$E$表示为单位矩阵，有的地方会用$I$表示），则B为A的逆矩阵，即有$B=A^{-1}$
  

对之前鸡兔同笼所列矩阵求解过程进行详细展示，关键是求逆矩阵左乘到右侧

矩阵等式的理解方式

• 理解方式一：（上图左）映射、矩阵变换，即从一个向量向另一个向量变换=矩阵
• 理解方式二：（上图右）用坐标系本身代表的基底去组合成新的向量
  
  
  旋转矩阵：
  
  
  
  
  

3. 群的简介（离散数学相关）

1. 群的定义

• 考虑一个集合G并对其中元素定义/指定一种操作称为群乘法

• 集合G在指定群乘法后其中元素应当满足以下四条性质才能被称作群

  1. 封闭性

  2. 结合律

  3. 单位元

  4. 逆元素

  日是e的象形
  
  
  下面上三个实例
  
  
  
  同态映射：先作用再乘法=先乘法再作用
  
  即：$e^x\ast e^y=e^{x+y}$，即$f(x)+f(y)=f(x+y)$

4. 复数简介

i轴和1轴的0处是同一个0，将他们连接起来构成一个平面！！！




平面上表示

棣莫弗定理


此处请联想到上述的同态映射，即：$e^x\ast e^y=e^{x+y}$，即$f(x)+f(y)=f(x+y)$，下面是通过python对猜想进行证实

作图

即：
$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n& =e\end{array}$$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n={\left[\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{a}{n}\right)}^{\frac{n}{a}}\right]}^a\stackrel{t=\frac{n}{a}}{⟶}{\left[\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\right]}^a=e^a$$
将a换成x，x也看作常数：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n=e^x$$

使用幂函数调整比例，从而张成新的函数
（看到这里我真的绷不住了，这个样子叫做零基础。。。还好我刚考过研，还记得些哈哈哈）


欧拉公式：
$$e^{ix}=cosx+isinx$$
从而有
$$z=r(\cos \theta +isin\theta )=r{e}^{i\theta }$$

$e^{L\theta }\vec{\nu }\iff$将$\vec{v}$逆时针转动角度$\theta$

$e^{i\theta }$$z\iff$将$z$逆时针转动角度$\theta$