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量子算法入门——2.线性代数与复数

参考资料:
【【零基础入门量子计算-第03讲】线性代数初步与复数】
来自b站up:溴锑锑跃迁
建议关注他的更多高质量文章:CSDN:【溴锑锑跃迁】

0. 前言

强烈建议搭配b站原视频进行观看,这只是我当时看的笔记,读懂这堂课的内容可能需要:线性代数(初等变换、列向量)、离散数学(群)、高等数学(极限等价无穷小部分)的知识储备

1. 向量的表示与运算

  1. 平面向量基本定理,可推广至三维或更多维度情况
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  2. 内积=点乘,得到标量
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  3. 正交基——内积为零的两向量相互垂直,称为正交基底
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2. 矩阵表示及其运算

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  • 矩阵运算法则
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  • 矩阵初等变换
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  • 逆矩阵(up的视频里面这里要是有如下文字提示可能会更好)
    设有矩阵 A A A和矩阵 B B B,有 A B = E AB=E AB=E(其中 E E E表示为单位矩阵,有的地方会用 I I I表示),则B为A的逆矩阵,即有 B = A − 1 B=A^{-1} B=A1
    )

对之前鸡兔同笼所列矩阵求解过程进行详细展示,关键是求逆矩阵左乘到右侧
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矩阵等式的理解方式
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  • 理解方式一:(上图左)映射、矩阵变换,即从一个向量向另一个向量变换=矩阵
  • 理解方式二:(上图右)用坐标系本身代表的基底去组合成新的向量
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    旋转矩阵:
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3. 群的简介(离散数学相关)

1. 群的定义

  • 考虑一个集合G并对其中元素定义/指定一种操作称为群乘法

  • 集合G指定群乘法后其中元素应当满足以下四条性质才能被称作

    1. 封闭性在这里插入图片描述

    2. 结合律在这里插入图片描述

    3. 单位元在这里插入图片描述

    4. 逆元素在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述日是e的象形
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    下面上三个实例
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    同态映射:先作用再乘法=先乘法再作用
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    即: e x ∗ e y = e x + y e^x*e^y=e^{x+y} exey=ex+y,即 f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) f(x)+f(y)=f(x+y) f(x)+f(y)=f(x+y)

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4. 复数简介

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i轴和1轴的0处是同一个0,将他们连接起来构成一个平面!!!
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平面上表示
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棣莫弗定理
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此处请联想到上述的同态映射,即: e x ∗ e y = e x + y e^x*e^y=e^{x+y} exey=ex+y,即 f ( x ) + f ( y ) = f ( x + y ) f(x)+f(y)=f(x+y) f(x)+f(y)=f(x+y),下面是通过python对猜想进行证实
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作图
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即:
lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=e\end{aligned} nlim(1+n1)n=e
lim ⁡ n → ∞ ( 1 + a n ) n = [ lim ⁡ n → ∞ ( 1 + a n ) n a ] a ⟶ ⁡ t = n a [ lim ⁡ t → ∞ ( 1 + 1 t ) t ] a = e a \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\color{red}{a}}n\right)^n=\left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\color{red}{a}}n\right)^{\color{red}{\frac{n}{a}}}\right]^a\overset{t=\frac na}{\operatorname*{\longrightarrow}}\left[\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac1t\right)^t\right]^a=e^{\color{red}{a}} nlim(1+na)n=[nlim(1+na)an]at=an[tlim(1+t1)t]a=ea
将a换成x,x也看作常数:
lim ⁡ n → ∞ ( 1 + x n ) n = e x \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x nlim(1+nx)n=ex
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使用幂函数调整比例,从而张成新的函数
(看到这里我真的绷不住了,这个样子叫做零基础。。。还好我刚考过研,还记得些哈哈哈)
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欧拉公式:
e i x = c o s x + i s i n x e^{ix}=cosx+isinx eix=cosx+isinx
从而有
z = r ( cos ⁡ θ + i s i n θ ) = r e i θ z=r(\cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta} z=r(cosθ+isinθ)=reiθ
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e L θ ν ⃗ ⇔ e^{L\theta}\vec{\nu}\Leftrightarrow eLθν v ⃗ \vec{v} v 逆时针转动角度 θ \theta θ

e i θ e^{i\theta} eiθ z ⇔ z\Leftrightarrow z z z z逆时针转动角度 θ \theta θ

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