剑指offer——数值的整数次方

1. 题目描述

• 题目:实现函数 double Power(double base,int exponent)，求base 的exponent 次方。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题

2. 一般思路

2.1 有问题的思路

• 由于不需要考虑大数问题，这道题看起来很简单，可能不少应聘者在看到题目30秒后就能写出如下的代码:

#include <stdio.h>float Power(double base, int exponent)
{double result = 1.0;for (int i = 0; i < exponent; i++){result *= base;}return result;
}int main()
{double base = 0;int exponent = 0;scanf("%lf %d", &base, &exponent);printf("%lf", Power(base, exponent));return 0;
}

• 运行结果为：

• 不过遗憾的是，写得快不一定就能得到面试官的青睐，
• 因为面试官会问要是输入的指数(exponent)小于1
• 即是零和负数的时候怎么办?上面的代码完全没有考虑，只包括了指数是正数的情况。

2.2 全面但不高效的思路

• 我们知道当指数为负数的时候，可以先对指数求绝对值，然后算出次方的结果之后再取倒数。
• 既然有求倒数，我们很自然就要想到有没有可能对0求倒数，如果对0求倒数怎么办?
• 当底数(base)是零且指数是负数的时候，如果不做特殊处理，就会出现对0求倒数从而导致程序运行出错。怎么告诉函数的调用者出现了这种错误?
• 前面提到我们可以采用3种方法返回值、全局代码和异常。
• 面试的时候可以向面试官阐述每种方法的优缺点，然后一起讨论决定选用哪种方式。
• 最后需要指出的是，由于0的0次方在数学上是没有意义的，因此无论是输出0还是1都是可以接受的，
• 但这都需要和面试官说清楚，表明我们已经考虑到这个边界值了。
• 有了这些相对而言已经全面很多的考虑，我们就可以把最初的代码修改如下:

#define wucha 0.00000001
#include <stdio.h>
#include <math.h>float Power(double base, int exponent)
{if (abs(base) < wucha){return 0.0;}//底数为0,（底数指数都为0则结果默认为0）if (exponent == 0){return 1.0;}//指数为0double result = 1.0;if (exponent > 0){for (int i = 0; i < exponent; i++){result *= base;}return result;}//指数为正else if (exponent < 0){for (int i = 0; i > exponent; i--){result *= base;}return 1 / result;}//指数为负
}int main()
{double base = 0;int exponent = 0;while (scanf("%lf %d", &base, &exponent) != EOF){printf("%lf\n", Power(base, exponent));}return 0;
}

• 运行结果为：

• 一个细节值得我们注意:在判断底数base是不是等于0时，不能直接写base=-0,
• 这是因为在计算机内表示小数时(包括 foat和 double 型小数)都有误差。判断两个小数是否相等，只能判断它们之差的绝对值是不是在一个很小的范围内。
• 如果两个数相差很小，就可以认为它们相等。

2.3 面试小提示

• 由于计算机表示小数(包括 foat和 double 型小数)都有误差，我们不能直接用等号(==)判断两个小数是否相等。如果两个小数的差的绝对值很小，比如小于 0.0000001，就可以认为它们相等。

3. 全面又高效的思路

• 此时我们考虑得已经很周详了，已经能够达到很多面试官的要求了。
• 但是如果我们碰到的面试官是一个在效率上追求完美的人，那么他有可能会提醒我们函数 Power还有更快的办法。
• 如果输入的指数 exponent为32，我们在函数 Power的循环中需要做 31次乘法。
• 但我们可以换一种思路考虑:我们的目标是求出一个数字的 32次方，如果我们已经知道了它的16次方,那么只要在 16 次方的基础上再平方一次就可以了。而16次方是8次方的平方。
• 这样以此类推，我们求32次方只需要做5次乘法:先求平方，在平方的基础上求4次方，在4次方的基础上求8次方，在8次方的基础上求16次方，最后在16次方的基础上求32次方。
• 也就是说，我们可以用如下公式求a的n次方：

• 代码如下：

#include <stdio.h>float Power2(double base, unsigned int exponent)
{if (exponent == 0){return 1;}if (exponent == 1){return base;}double result = Power2(base, exponent >> 1);result *= result;if (exponent & 1 == 1){result *= result;}return result;
}int main()
{double base = 0;unsigned int exponent = 0;while (scanf("%lf %d", &base, &exponent) != EOF){printf("%lf\n", Power2(base, exponent));}return 0;
}

• 但是美中不足的是这个代码只能求非负数的非负数幂

最后，
恭喜你又遥遥领先了别人！