线性代数笔记2--矩阵消元

0. 简介

矩阵消元

1. 消元过程

实例方程组
$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2\end{array}$$
矩阵化
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right] \\ X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right] \end{gathered}$$
$$B=\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]$$
消元

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]\stackrel{(2,1)}{⟶}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]\stackrel{(3,2)}{⟶}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$
回代
$$\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]\stackrel{ro{w}_2-3ro{w}_1}{⟶}\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ 2\end{array}\right]\stackrel{ro{w}_3-2ro{w}_2}{⟶}\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ -10\end{array}\right]$$
求解
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ -10\end{array}\right]$$
结果
$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right]$$

2. 消元矩阵

将上述消元的过程变为矩阵相乘的形式。

向量式思考
矩阵乘列向量
$$\left[\begin{array}{ccc}.& .& .\\ .& .& .\\ .& .& .\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\ast col1+y\ast col2+z\ast col3\end{array}\right]$$
行向量乘矩阵
$$\left[\begin{array}{c}xyz\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}.& .& .\\ .& .& .\\ .& .& .\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\ast row1\\ +\\ y\ast row2\\ +\\ z\ast row3\end{array}\right]$$
一个矩阵左边乘一个单位矩阵并不改变其值
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$
而做行的加减则可以
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right] \\ {A}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]= \\ \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
实际上这个过程就是，我们在之前的消元过程中的第二行减去三倍第一行的过程。我们继续下去将这个矩阵对角化。
$$\begin{gathered} A^{\prime \prime }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]A^{\prime } \\ =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right] \end{gathered}$$

我们令最后的上三角矩阵为
$$U=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$
两个变换矩阵为
$$\begin{gathered} E_{21}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ {E}_{32}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
则$$E_{32}(E_{21}A)=U$$
而矩阵乘法满足结合律证明即
$$E_{32}{E}_{21}A=E_{32}(E_{21}A)$$
所以最终消元的过程变成了寻找矩阵E的过程
$$E=E_{32}{E}_{21}$$
这一过程。

3. 置换矩阵

在上述的消元矩阵中，我们并没有进行列的交换。那么如何进行交换呢？

我们知道在原矩阵基础左边乘单位矩阵，矩阵不会发生变化。
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

如何交换两行呢，将单位矩阵变形
$$A^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$$
推广到多行
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

• 行变换
  交换第一行和第三行
  $$A^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$
  交换第一行和第二行
  $$A^{\prime \prime }=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

所以交换任意两行，只需将单位矩阵中对应行$1$的位置进行交换。

• 列变换

在矩阵左边乘是对原矩阵行变换，而在矩阵右边则是列变换
交换矩阵两列
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right] \\ {A}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right] \end{gathered}$$

交换多列也是一样的效果
交换第$1$第$2$列
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right] \\ {A}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 5& 4& 6\\ 8& 7& 9\end{array}\right] \end{gathered}$$

所以交换任意两列，只需将单位矩阵中对应行$1$的位置进行交换。
与行交换的不同地方在于，矩阵乘的在右边了。

4. 矩阵的逆

$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ {A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ {A}^{-1}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$