时间序列分析实战（四）：Holt-Winters建模及预测

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1 目的

  该篇文章主要展示针对时序进行Holt-Winters建模，案例数据同 时间序列分析实战（三）：时序因素分解法：某欧洲小镇1963年1月至1976年12月每月旅馆入住的房间数构成时间序列$x_t$。

2 Holt-Winters三参数指数平滑乘法模型

  通过上一篇 Blog 知道该时序数据具有季节效应，并且具有长期趋势，考虑首先建立Holt-Winters三参数指数平滑乘法模型：

$$x_t=[a(t)+b(t)]c(t)$$

  运行程序：

fit1=HoltWinters(data1,seasonal = "mult")
fit1

  运行结果：

## Holt-Winters exponential smoothing with trend and multiplicative seasonal component.
## 
## Call:
## HoltWinters(x = data1, seasonal = "mult")
## 
## Smoothing parameters:
##  alpha: 0.01567674
##  beta : 0.008068444
##  gamma: 0.4392594
## 
## Coefficients:
##            [,1]
## a   875.5123349
## b     1.9568538
## s1    0.9301067
## s2    0.8613974
## s3    0.8741871
## s4    0.9798006
## s5    0.9624445
## s6    1.0964284
## s7    1.2846348
## s8    1.3110818
## s9    1.0004965
## s10   0.9987417
## s11   0.8628932
## s12   0.9793806

  基于R最优拟合原则得到平滑系数$\alpha$=0.01567674,$\beta$=0.008068444,$\gamma$=0.4392594。经迭代得到三个参数的最后迭代值：$a(t)$=875.5123349,$b(t)$=1.9568538，参数$c(t)$的最后12个月估计值对应的是12个月的季节指数，见表1。

  该序列向前任意$k$期的预测值为：

$${\hat{x}}_{t+k}=(875.512+1.967k)S_j,\forall k\ge 1$$

  式中，$j$为$t+k$期对应的季节。

3 Holt-Winters三参数指数平滑乘法模型预测

  运行程序：

library(forecast)
fore1=forecast::forecast(fit1,h=36)
fore1$mean

  运行结果：

##            Jan       Feb       Mar       Apr       May       Jun       Jul
## 1977  816.1400  757.5353  770.4935  865.4968  852.0489  972.8099 1142.3105
## 1978  837.9810  777.7629  791.0214  888.5047  874.6492  998.5565 1172.4766
## 1979  859.8220  797.9904  811.5493  911.5126  897.2496 1024.3031 1202.6427
##            Aug       Sep       Oct       Nov       Dec
## 1977 1168.3931  893.5675  893.9546  774.0477  880.4578
## 1978 1199.1802  917.0614  917.4073  794.3104  903.4559
## 1979 1229.9674  940.5553  940.8600  814.5731  926.4540

 运行程序：

plot(fore1,lty=2,sub='图1 入住房间数序列Holt-Winters三参数指数平滑预测效果图')
lines(fore1$fitted,col=4)

   运行结果：

图1 Holt-Winters三参数指数平滑乘法模型预测效果